Calcul infinitésimal Exemples

$y = 6 - 2 x - x^{2}$

Étape 1

Écrivez $y = 6 - 2 x - x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = 6 - 2 x - x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - 2 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 2 - (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 - 2 x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2 - 2 x$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x - 2$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 x - 2 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - 2 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 5.1.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = 0 - 2 + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 - 2 - \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 2 - (2 x)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 2 - 2 x$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f' (x) = - 2 - 2 x$

Étape 5.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 x - 2$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x - 2$ .

$- 2 x - 2$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x - 2 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x - 2 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x = 2$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{- 2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Divisez $2$ par $- 2$ .

$x = - 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2$

Étape 10

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 6 - 2 \cdot - 1 - {(- 1)}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 6 + 2 - {(- 1)}^{2}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 11.2.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- 1) = 6 + 2 + (- 1) {(- 1)}^{2}$

Étape 11.2.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 1) = 6 + 2 + {(- 1)}^{1 + 2}$

Étape 11.2.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 1) = 6 + 2 + {(- 1)}^{3}$

Étape 11.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = 6 + 2 - 1$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $6$ et $2$ .

$f (- 1) = 8 - 1$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$f (- 1) = 7$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $7$ .

$y = 7$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 6 - 2 x - x^{2}$ .

$(- 1, 7)$ est un maximum local

Étape 13