Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x^{2} + 3 x + 4$

Étape 1

Écrivez $y = 5 x^{2} + 3 x + 4$ comme une fonction.

$f (x) = 5 x^{2} + 3 x + 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$10 x + 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 x + 3 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $10 x + 3$ et $0$ .

$10 x + 3$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.2.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 + \frac{d}{d x} (3)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 10 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $10$ et $0$ .

$f'' (x) = 10$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$10 x + 3 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (x) = 10 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 10 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 10 x + 3 + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 10 x + 3 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $10 x + 3$ et $0$ .

$f' (x) = 10 x + 3$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $10 x + 3$ .

$10 x + 3$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $10 x + 3 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$10 x + 3 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$10 x = - 3$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $10 x = - 3$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $10 x = - 3$ par $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 3}{10}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 3}{10}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{10}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{10}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{3}{10}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{3}{10}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$10$

Étape 10

$x = - \frac{3}{10}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{3}{10}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{3}{10}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{10}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 11.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Étape 11.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Étape 11.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{10^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Étape 11.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Étape 11.2.1.5

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Étape 11.2.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 11.2.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Étape 11.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 \cdot 20}) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Étape 11.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Étape 11.2.1.7

Multipliez $3 (- \frac{3}{10})$ .

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Étape 11.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) + 4$

Étape 11.2.1.7.2

Associez $- 3$ et $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} + 4$

Étape 11.2.1.7.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} + 4$

Étape 11.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9}{10} + 4$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $\frac{9}{10}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{9}{10}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + 4$

Étape 11.2.2.3

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Étape 11.2.2.5

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 20}{20}$

Étape 11.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $10 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{4 \cdot 20}{20}$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $2$ par $10$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{4 \cdot 20}{20}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 4 \cdot 20}{20}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 + 4 \cdot 20}{20}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $4$ par $20$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 + 80}{20}$

Étape 11.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.5.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 9 + 80}{20}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $- 9$ et $80$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{71}{20}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $\frac{71}{20}$ .

$y = \frac{71}{20}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 x^{2} + 3 x + 4$ .

$(- \frac{3}{10}, \frac{71}{20})$ est un minimum local

Étape 13