Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 1$

Étape 1

Écrivez $y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 1$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $48$ par $1$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 24 x + 48$ et $0$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 24 x + 48$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (48)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (48)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (48)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (48)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (48)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (48)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (48)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $6 x - 24$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 24 x + 48 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 48 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $48$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 48 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 48 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 24 x + 48$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 48$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 24 x + 48$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 24 x + 48 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 24 x + 48$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 24 x + 48 = 0$

Étape 6.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) + 48 = 0$

Étape 6.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $48$ .

$3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Étape 6.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 8 x)$ .

$3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Étape 6.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 16$ .

$3 (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$3 (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Étape 6.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 6.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$3 {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ par $3$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez ${(x - 4)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 6.4

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 6.5

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (4) - 24$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$24 - 24$

Étape 10.2

Soustrayez $24$ de $24$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 4)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 24 x + 48$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 48$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 48$

Étape 11.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 24 \cdot 0 + 48$

Étape 11.2.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 48$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 48$

Étape 11.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $48$ .

$f' (0) = 48$

Étape 11.2.2.3

La réponse finale est $48$ .

$48$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 24 x + 48$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 24 \cdot 6 + 48$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 24 \cdot 6 + 48$

Étape 11.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $36$ .

$f' (6) = 108 - 24 \cdot 6 + 48$

Étape 11.3.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $6$ .

$f' (6) = 108 - 144 + 48$

Étape 11.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.3.2.2.1

Soustrayez $144$ de $108$ .

$f' (6) = - 36 + 48$

Étape 11.3.2.2.2

Additionnez $- 36$ et $48$ .

$f' (6) = 12$

Étape 11.3.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 11.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 4$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 11.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 1$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 12