Calcul infinitésimal Exemples

$y = - x^{4} + 4 x^{2} - 10$

Étape 1

Écrivez $y = - x^{4} + 4 x^{2} - 10$ comme une fonction.

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - 10$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 4 x^{2} - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 4 x^{3} + 8 x$ et $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} + 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 x^{3} + 8 x = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + 4 x^{2} - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $- 4 x^{3} + 8 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} + 8 x$ .

$- 4 x^{3} + 8 x$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} + 8 x = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x = 0$

Étape 6.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3} + 8 x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $- 4 x$ à partir de $8 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2 = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $- 4 x$ à partir de $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 2)$ .

$- 4 x (x^{2} - 2) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 6.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 6.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 6.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 6.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 x (x^{2} - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(0)}^{2} + 8$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 8$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$0 + 8$

Étape 10.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$8$

Étape 11

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{2} - 10$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - 0 + 4 {(0)}^{2} - 10$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{2} - 10$

Étape 12.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 - 10$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 10$

Étape 12.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 12.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 10$

Étape 12.2.2.2

Soustrayez $10$ de $0$ .

$f (0) = - 10$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 10$ .

$y = - 10$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 8$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 14.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8$

Étape 14.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8$

Étape 14.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 8$

Étape 14.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 8$

Étape 14.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 12 \cdot 2^{1} + 8$

Étape 14.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$- 12 \cdot 2 + 8$

Étape 14.1.2

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$- 24 + 8$

Étape 14.2

Additionnez $- 24$ et $8$ .

$- 16$

Étape 15

$x = \sqrt{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{2}$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{2}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{2}) = - {(\sqrt{2})}^{4} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 16.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 16.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 16.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 2^{\frac{4}{2}} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 16.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 16.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 16.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = - 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 16.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{2}) = - 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 16.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{2}) = - 2^{\frac{2}{1}} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 16.2.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (\sqrt{2}) = - 2^{2} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 16.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\sqrt{2}) = - 1 \cdot 4 + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 16.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 16.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 10$

Étape 16.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 10$

Étape 16.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 10$

Étape 16.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 10$

Étape 16.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2 - 10$

Étape 16.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2 - 10$

Étape 16.2.1.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 8 - 10$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 16.2.2.1

Additionnez $- 4$ et $8$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 10$

Étape 16.2.2.2

Soustrayez $10$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 6$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 8$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 8$

Étape 18.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 8$

Étape 18.1.3

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$- 12 {\sqrt{2}}^{2} + 8$

Étape 18.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 18.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8$

Étape 18.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8$

Étape 18.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 8$

Étape 18.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 8$

Étape 18.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 12 \cdot 2^{1} + 8$

Étape 18.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$- 12 \cdot 2 + 8$

Étape 18.1.5

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$- 24 + 8$

Étape 18.2

Additionnez $- 24$ et $8$ .

$- 16$

Étape 19

$x = - \sqrt{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{2}$ est un maximum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{2}$ .

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Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = - {(- \sqrt{2})}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - ({(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4}) + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 20.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{4}) + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{4}$ par $- 1$ .

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Étape 20.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{4}) + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4 + 1} {\sqrt{2}}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 20.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{4}{2}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 20.2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 20.2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2}{1}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{2} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 1 \cdot 4 + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 10$

Étape 20.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 10$

Étape 20.2.1.9

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 {\sqrt{2}}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 20.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 10$

Étape 20.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 10$

Étape 20.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 10$

Étape 20.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 10$

Étape 20.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2 - 10$

Étape 20.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2 - 10$

Étape 20.2.1.11

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 8 - 10$

Étape 20.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 20.2.2.1

Additionnez $- 4$ et $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 10$

Étape 20.2.2.2

Soustrayez $10$ de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6$

Étape 20.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 21

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - 10$ .

$(0, - 10)$ est un minimum local

$(\sqrt{2}, - 6)$ est un maximum local

$(- \sqrt{2}, - 6)$ est un maximum local

Étape 22