Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} e^{- x}$

Étape 1

Écrivez $y = x^{4} e^{- x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{4} e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Étape 2.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4} e^{- x}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Étape 3.2.2

$f'' (x) = - (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Étape 3.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Étape 3.2.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Étape 3.2.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x})$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 3.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 3.3.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 3.3.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3

Associez des termes.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{4} (e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3.2

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 (e^{- x} (x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 e^{- x} x^{3} - 4 (x^{3} (e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.3.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 e^{- x} x^{3} - 4 x^{3} e^{- x} + 12 (e^{- x} (x^{2}))$

Étape 3.4.3.6

Soustrayez $4 x^{3} e^{- x}$ de $- 4 e^{- x} x^{3}$ .

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Étape 3.4.3.6.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

Étape 3.4.3.6.2

Soustrayez $4 x^{3} e^{- x}$ de $- 4 x^{3} e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 8 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

Étape 3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{- x} x^{4} - 8 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$

Étape 3.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} x^{4} - 8 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 8 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 5.1.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 5.1.3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 5.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Étape 5.1.4

Simplifiez

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Étape 5.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Étape 5.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ .

$f' (x) = - x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Étape 6.2

Factorisez $x^{3} e^{- x}$ à partir de $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x^{3} e^{- x}$ à partir de $- x^{4} e^{- x}$ .

$x^{3} e^{- x} (- x) + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $x^{3} e^{- x}$ à partir de $4 x^{3} e^{- x}$ .

$x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $x^{3} e^{- x}$ à partir de $x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4)$ .

$x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 4 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 6.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 6.6

Définissez $- x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.6.1

Définissez $- x + 4$ égal à $0$ .

$- x + 4 = 0$

Étape 6.6.2

Résolvez $- x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.6.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 6.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.6.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.6.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

${(0)}^{4} e^{- (0)} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{- (0)} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 e^{0} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Étape 10.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Étape 10.1.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Étape 10.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Étape 10.1.6

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$0 + 0 e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Étape 10.1.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Étape 10.1.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Étape 10.1.9

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Étape 10.1.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 12 \cdot 0 e^{- (0)}$

Étape 10.1.11

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- (0)}$

Étape 10.1.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Étape 10.1.13

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Étape 10.1.14

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 10.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 10.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{4} e^{- (- 2)} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot (16 e^{- (- 2)}) + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Étape 11.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{- (- 2)} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Étape 11.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Étape 11.2.2.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} + 4 \cdot (- 8 e^{- (- 2)})$

Étape 11.2.2.1.5

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} - 32 e^{- (- 2)}$

Étape 11.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} - 32 e^{2}$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $32 e^{2}$ de $- 16 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 48 e^{2}$

Étape 11.2.2.3

La réponse finale est $- 48 e^{2}$ .

$- 48 e^{2}$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, 4)$ dans la dérivée première $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - {(2)}^{4} e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f' (2) = - 1 \cdot (16 e^{- (2)}) + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Étape 11.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f' (2) = - 16 e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Étape 11.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = - 16 e^{- 2} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Étape 11.3.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - 16 \frac{1}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Étape 11.3.2.1.5

Associez $- 16$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = \frac{- 16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Étape 11.3.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Étape 11.3.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 \cdot (8 e^{- (2)})$

Étape 11.3.2.1.8

Multipliez $4$ par $8$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- (2)}$

Étape 11.3.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- 2}$

Étape 11.3.2.1.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 (\frac{1}{e^{2}})$

Étape 11.3.2.1.11

Associez $32$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + \frac{32}{e^{2}}$

Étape 11.3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 11.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{- 16 + 32}{e^{2}}$

Étape 11.3.2.2.2

Additionnez $- 16$ et $32$ .

$f' (2) = \frac{16}{e^{2}}$

Étape 11.3.2.3

La réponse finale est $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Étape 11.4

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée première $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = - {(6)}^{4} e^{- (6)} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Étape 11.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$f' (6) = - 1 \cdot (1296 e^{- (6)}) + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Étape 11.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1296$ .

$f' (6) = - 1296 e^{- (6)} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Étape 11.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (6) = - 1296 e^{- 6} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Étape 11.4.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = - 1296 \frac{1}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Étape 11.4.2.1.5

Associez $- 1296$ et $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{- 1296}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Étape 11.4.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Étape 11.4.2.1.7

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 4 \cdot (216 e^{- (6)})$

Étape 11.4.2.1.8

Multipliez $4$ par $216$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 e^{- (6)}$

Étape 11.4.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 e^{- 6}$

Étape 11.4.2.1.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 (\frac{1}{e^{6}})$

Étape 11.4.2.1.11

Associez $864$ et $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + \frac{864}{e^{6}}$

Étape 11.4.2.2

Associez les fractions.

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Étape 11.4.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (6) = \frac{- 1296 + 864}{e^{6}}$

Étape 11.4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.4.2.2.2.1

Additionnez $- 1296$ et $864$ .

$f' (6) = \frac{- 432}{e^{6}}$

Étape 11.4.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (6) = - \frac{432}{e^{6}}$

Étape 11.4.2.3

La réponse finale est $- \frac{432}{e^{6}}$ .

$- \frac{432}{e^{6}}$

Étape 11.5

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 4$ , $x = 4$ est un maximum local.

$x = 4$ est un maximum local

Étape 11.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} e^{- x}$ .

$x = 0$ est un minimum local

$x = 4$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

$x = 4$ est un maximum local

Étape 12