Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 7$

Étape 1

Écrivez $y = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 7$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 7$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 14 x - 24$ et $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 14 x - 24$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 14 x$ par rapport à $x$ est $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 14$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $6 x - 14$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 14 x - 24 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 14 x - 24$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 14 x - 24$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 14 x - 24 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 = 0$

Étape 6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ et dont la somme est $b = - 14$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 x$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 = 0$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez $- 14$ comme $4$ plus $- 18$

$3 x^{2} + (4 - 18) x - 24 = 0$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 4 x - 18 x - 24 = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + 4 x) - 18 x - 24 = 0$

Étape 6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 4) - 6 (3 x + 4) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 6) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 6.4

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $3 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 4$

Étape 6.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 6.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 6.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 6.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 6.5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 4) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = - \frac{4}{3}, 6$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{4}{3}, 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{4}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- \frac{4}{3}) - 14$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{3}$ dans le numérateur.

$6 (\frac{- 4}{3}) - 14$

Étape 10.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{- 4}{3} - 14$

Étape 10.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{- 4}{3} - 14$

Étape 10.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot - 4 - 14$

Étape 10.1.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 - 14$

Étape 10.2

Soustrayez $14$ de $- 8$ .

$- 22$

Étape 11

$x = - \frac{4}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{4}{3}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{4}{3}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{4}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{4}{3}) = {(- \frac{4}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 12.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{3^{3}}) - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{4^{3}}{3^{3}} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{3^{3}} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 12.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 (1 (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.7

Multipliez $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 \frac{16}{3^{2}} - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 (\frac{16}{9}) - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.10

Multipliez $- 7 (\frac{16}{9})$ .

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Étape 12.2.1.10.1

Associez $- 7$ et $\frac{16}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{- 7 \cdot 16}{9} - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.10.2

Multipliez $- 7$ par $16$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{- 112}{9} - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} - 24 (- \frac{4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{3}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} - 24 (\frac{- 4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.12.2

Factorisez $3$ à partir de $- 24$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} + 3 (- 8) (\frac{- 4}{3}) + 7$

Étape 12.2.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} + 3 \cdot (- 8 (\frac{- 4}{3})) + 7$

Étape 12.2.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} - 8 \cdot - 4 + 7$

Étape 12.2.1.13

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} + 32 + 7$

Étape 12.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 12.2.2.1

Multipliez $\frac{112}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - (\frac{112}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 32 + 7$

Étape 12.2.2.2

Multipliez $\frac{112}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 32 + 7$

Étape 12.2.2.3

Écrivez $32$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{1} + 7$

Étape 12.2.2.4

Multipliez $\frac{32}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{27}{27} + 7$

Étape 12.2.2.5

Multipliez $\frac{32}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 27}{27} + 7$

Étape 12.2.2.6

Écrivez $7$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{7}{1}$

Étape 12.2.2.7

Multipliez $\frac{7}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{7}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 12.2.2.8

Multipliez $\frac{7}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{7 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.2.9

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{7 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{7 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 112 \cdot 3 + 32 \cdot 27 + 7 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.4.1

Multipliez $- 112$ par $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 336 + 32 \cdot 27 + 7 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.4.2

Multipliez $32$ par $27$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 336 + 864 + 7 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.4.3

Multipliez $7$ par $27$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 336 + 864 + 189}{27}$

Étape 12.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 12.2.5.1

Soustrayez $336$ de $- 64$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 400 + 864 + 189}{27}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $- 400$ et $864$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{464 + 189}{27}$

Étape 12.2.5.3

Additionnez $464$ et $189$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{653}{27}$

Étape 12.2.6

La réponse finale est $\frac{653}{27}$ .

$y = \frac{653}{27}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 6$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (6) - 14$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$36 - 14$

Étape 14.2

Soustrayez $14$ de $36$ .

$22$

Étape 15

$x = 6$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 6$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 6$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = {(6)}^{3} - 7 {(6)}^{2} - 24 \cdot 6 + 7$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (6) = 216 - 7 {(6)}^{2} - 24 \cdot 6 + 7$

Étape 16.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = 216 - 7 \cdot 36 - 24 \cdot 6 + 7$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $36$ .

$f (6) = 216 - 252 - 24 \cdot 6 + 7$

Étape 16.2.1.4

Multipliez $- 24$ par $6$ .

$f (6) = 216 - 252 - 144 + 7$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 16.2.2.1

Soustrayez $252$ de $216$ .

$f (6) = - 36 - 144 + 7$

Étape 16.2.2.2

Soustrayez $144$ de $- 36$ .

$f (6) = - 180 + 7$

Étape 16.2.2.3

Additionnez $- 180$ et $7$ .

$f (6) = - 173$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 173$ .

$y = - 173$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 7$ .

$(- \frac{4}{3}, \frac{653}{27})$ est un maximum local

$(6, - 173)$ est un minimum local

Étape 18