Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} e^{x}$

Étape 1

Écrivez $y = x^{2} e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Étape 2.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 3.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Étape 3.4.2

Additionnez $e^{x} (2 x)$ et $2 x e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $2 x e^{x}$ et $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Étape 3.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Étape 5.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Étape 5.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Étape 6.2

Factorisez $x e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Factorisez $x e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $x e^{x}$ à partir de $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $x e^{x}$ à partir de $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 6.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 6.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x e^{x} (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Étape 10.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Étape 10.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Étape 10.1.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

Étape 10.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Étape 10.1.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Étape 10.1.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Étape 10.1.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 0 + 2$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 2$

Étape 10.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 11

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Étape 12.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Étape 12.2.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$f (0) = 0$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 14.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 14.1.3

Associez $4$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 14.1.4

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Étape 14.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Étape 14.1.6

Associez $- 8$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Étape 14.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Étape 14.1.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Étape 14.1.9

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Étape 14.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Étape 14.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Étape 14.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Étape 14.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Étape 15

$x = - 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

Étape 16.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

Étape 16.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Étape 16.2.4

La réponse finale est $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ est un maximum local

Étape 18