Calcul infinitésimal Exemples

$y = - x^{3} + x^{2} + x + 5$

Étape 1

Écrivez $y = - x^{3} + x^{2} + x + 5$ comme une fonction.

$f (x) = - x^{3} + x^{2} + x + 5$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} + x^{2} + x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 + 0$

Étape 2.3.4

Additionnez $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ et $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $- 6 x + 2$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} + x^{2} + x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Étape 5.1.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1 + 0$

Étape 5.1.3.4

Additionnez $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ et $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

Étape 6.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 6.2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 6.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 6.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

Étape 6.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

Étape 6.2.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

Étape 6.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

Étape 6.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

Étape 6.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 6.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 6.4

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 6.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 6.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 6.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 6.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 6.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

Étape 10.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

Étape 10.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

Étape 10.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 \cdot - 1 + 2$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 + 2$

Étape 10.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$4$

Étape 11

$x = - \frac{1}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{1}{3}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{1}{3}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{3}) = - {(- \frac{1}{3})}^{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- \frac{1}{3}) = - {(- \frac{1}{3})}^{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 12.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{3^{3}})) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.2.2.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 \frac{1^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

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Étape 12.2.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) (\frac{1^{3}}{3^{3}})) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3 + 1} (\frac{1^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{1^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 1 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.4

Multipliez $\frac{1^{3}}{3^{3}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 12.2.2.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + 1 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.9

Multipliez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.2.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 12.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3} + 5$

Étape 12.2.3.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 5$

Étape 12.2.3.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + 5$

Étape 12.2.3.5

Écrivez $5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Étape 12.2.3.6

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 12.2.3.7

Multipliez $\frac{5}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.3.8

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.3.9

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.3.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Étape 12.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.2.5.1

Multipliez $5$ par $27$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 + 135}{27}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{4 - 9 + 135}{27}$

Étape 12.2.5.3

Soustrayez $9$ de $4$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 5 + 135}{27}$

Étape 12.2.5.4

Additionnez $- 5$ et $135$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{130}{27}$

Étape 12.2.6

La réponse finale est $\frac{130}{27}$ .

$y = \frac{130}{27}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 \cdot 1 + 2$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 + 2$

Étape 14.2

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$- 4$

Étape 15

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} + 1 + 5$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} + 1 + 5$

Étape 16.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + {(1)}^{2} + 1 + 5$

Étape 16.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = - 1 + {(1)}^{2} + 1 + 5$

Étape 16.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 1 + 1 + 1 + 5$

Étape 16.2.3

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 16.2.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (1) = 0 + 1 + 5$

Étape 16.2.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (1) = 1 + 5$

Étape 16.2.3.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$f (1) = 6$

Étape 16.2.4

La réponse finale est $6$ .

$y = 6$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - x^{3} + x^{2} + x + 5$ .

$(- \frac{1}{3}, \frac{130}{27})$ est un minimum local

$(1, 6)$ est un maximum local

Étape 18