Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - x^{2}$

Étape 1

Écrivez $y = x^{3} - x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} - x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 2 \frac{d}{d x} x$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 2 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 2$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 2 x = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - (2 x)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 2 x$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 2 x = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 2 x = 0$

Étape 6.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 2 x = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 2 = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot - 2$ .

$x (3 x - 2) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 6.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 6.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (3 x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (0) - 2$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 - 2$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{3} - {(0)}^{2}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Étape 12.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 12.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (\frac{2}{3}) - 2$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{2}{3} - 2$

Étape 14.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{2}{3} - 2$

Étape 14.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2 - 2$

Étape 14.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 - 2$

Étape 14.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$2$

Étape 15

$x = \frac{2}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2}{3}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2}{3}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2}{3}) = {(\frac{2}{3})}^{3} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{2^{3}}{3^{3}} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Étape 16.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{3^{3}} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Étape 16.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - {(\frac{2}{3})}^{2}$

Étape 16.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Étape 16.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{3^{2}}$

Étape 16.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9}$

Étape 16.2.2

Pour écrire $- \frac{4}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 16.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 16.2.3.1

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Étape 16.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{4 \cdot 3}{27}$

Étape 16.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 4 \cdot 3}{27}$

Étape 16.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.5.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{8 - 12}{27}$

Étape 16.2.5.2

Soustrayez $12$ de $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 4}{27}$

Étape 16.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{4}{27}$

Étape 16.2.7

La réponse finale est $- \frac{4}{27}$ .

$y = - \frac{4}{27}$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ est un maximum local

$(\frac{2}{3}, - \frac{4}{27})$ est un minimum local

Étape 18