Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 2.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 2.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 2.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 4 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 4 x - 12 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x^{2} - 4 x - 12$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 5.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 5.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 5.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 5.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Étape 5.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 12 \frac{d}{d x} x$

Étape 5.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 12 \cdot 1$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 12$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 4 x - 12$ .

$x^{2} - 4 x - 12$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Étape 6.2

Factorisez $x^{2} - 4 x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 6.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 6.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 6.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 6, - 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 6, - 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 6$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (6) - 4$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 - 4$

Étape 10.2

Soustrayez $4$ de $12$ .

$8$

Étape 11

$x = 6$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 6$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 6$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} - 2 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 12.2.1.1

Écrivez $- 2 {(6)}^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2}}{1} - 12 \cdot 6$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $\frac{- 2 {(6)}^{2}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} - 12 \cdot 6$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $\frac{- 2 {(6)}^{2}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2} \cdot 3}{3} - 12 \cdot 6$

Étape 12.2.1.4

Écrivez $- 12 \cdot 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot 6}{1}$

Étape 12.2.1.5

Multipliez $\frac{- 12 \cdot 6}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot 6}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 12.2.1.6

Multipliez $\frac{- 12 \cdot 6}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (6) = \frac{{(6)}^{3} - 2 {(6)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.3.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (6) = \frac{216 - 2 {(6)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.3.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = \frac{216 - 2 \cdot 36 \cdot 3 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.3.3

Multipliez $- 2 \cdot 36 \cdot 3$ .

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Étape 12.2.3.3.1

Multipliez $- 2$ par $36$ .

$f (6) = \frac{216 - 72 \cdot 3 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.3.3.2

Multipliez $- 72$ par $3$ .

$f (6) = \frac{216 - 216 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.3.4

Multipliez $- 12 \cdot 6 \cdot 3$ .

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Étape 12.2.3.4.1

Multipliez $- 12$ par $6$ .

$f (6) = \frac{216 - 216 - 72 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.3.4.2

Multipliez $- 72$ par $3$ .

$f (6) = \frac{216 - 216 - 216}{3}$

Étape 12.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.2.4.1

Soustrayez $216$ de $216$ .

$f (6) = \frac{0 - 216}{3}$

Étape 12.2.4.2

Soustrayez $216$ de $0$ .

$f (6) = \frac{- 216}{3}$

Étape 12.2.4.3

Divisez $- 216$ par $3$ .

$f (6) = - 72$

Étape 12.2.5

La réponse finale est $- 72$ .

$y = - 72$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 (- 2) - 4$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 - 4$

Étape 14.2

Soustrayez $4$ de $- 4$ .

$- 8$

Étape 15

$x = - 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 16.2.1.1

Écrivez $- 2 {(- 2)}^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2}}{1} - 12 \cdot - 2$

Étape 16.2.1.2

Multipliez $\frac{- 2 {(- 2)}^{2}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} - 12 \cdot - 2$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $\frac{- 2 {(- 2)}^{2}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} - 12 \cdot - 2$

Étape 16.2.1.4

Écrivez $- 12 \cdot - 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot - 2}{1}$

Étape 16.2.1.5

Multipliez $\frac{- 12 \cdot - 2}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot - 2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 16.2.1.6

Multipliez $\frac{- 12 \cdot - 2}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 16.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 16.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 16.2.3.2

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 16.2.3.2.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ .

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Étape 16.2.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + (- 2) {(- 2)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 16.2.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2) = \frac{- 8 + {(- 2)}^{1 + 2} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 16.2.3.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + {(- 2)}^{3} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 16.2.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 8 \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 16.2.3.4

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 24 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 16.2.3.5

Multipliez $- 12 \cdot - 2 \cdot 3$ .

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Étape 16.2.3.5.1

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 24 + 24 \cdot 3}{3}$

Étape 16.2.3.5.2

Multipliez $24$ par $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 24 + 72}{3}$

Étape 16.2.4

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 16.2.4.1

Soustrayez $24$ de $- 8$ .

$f (- 2) = \frac{- 32 + 72}{3}$

Étape 16.2.4.2

Additionnez $- 32$ et $72$ .

$f (- 2) = \frac{40}{3}$

Étape 16.2.5

La réponse finale est $\frac{40}{3}$ .

$y = \frac{40}{3}$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$ .

$(6, - 72)$ est un minimum local

$(- 2, \frac{40}{3})$ est un maximum local

Étape 18