Calcul infinitésimal Exemples

$x + \sqrt{1 - x}$

Étape 1

Écrivez $x + \sqrt{1 - x}$ comme une fonction.

$f (x) = x + \sqrt{1 - x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sqrt{1 - x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x}$ comme ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 2.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 2.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 2.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 2.2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 2.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 2.2.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

Étape 2.2.13

Soustrayez $1$ de $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

Étape 2.2.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

Étape 2.2.15

Associez $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

Étape 2.2.16

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.2.17

Réécrivez $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ comme $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.2.18

Placez ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 3.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x)))$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x)))$

Étape 3.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x)))$

Étape 3.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)))))$

Étape 3.2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x)))))$

Étape 3.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x))))$

Étape 3.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Étape 3.2.9

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.2.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Étape 3.2.9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Étape 3.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Étape 3.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Étape 3.2.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Étape 3.2.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Étape 3.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Étape 3.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Étape 3.2.13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Étape 3.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Étape 3.2.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))))$

Étape 3.2.16

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1))$

Étape 3.2.17

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1))$

Étape 3.2.18

Associez $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2})$

Étape 3.2.19

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.20

Réécrivez $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ comme $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.2.21

Placez ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.2.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

Étape 3.2.23

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (1 {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

Étape 3.2.24

Multipliez ${(1 - x)}^{- 1}$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

Étape 3.2.25

Associez ${(1 - x)}^{- 1}$ et $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(1 - x)}^{- 1}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2.26

Placez ${(1 - x)}^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Étape 3.2.27

Multipliez ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par $1 - x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.27.1

Déplacez $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 ((1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 3.2.27.2

Multipliez $1 - x$ par ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.2.27.2.1

Élevez $1 - x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 ((1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 3.2.27.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 3.2.27.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 3.2.27.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 3.2.27.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.2.28

Multipliez $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 3.2.29

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.3

Soustrayez $\frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sqrt{1 - x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x}$ comme ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 5.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 5.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 5.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 5.1.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 5.1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 5.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 5.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 5.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 5.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 5.1.2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 5.1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 5.1.2.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

Étape 5.1.2.13

Soustrayez $1$ de $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

Étape 5.1.2.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

Étape 5.1.2.15

Associez $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

Étape 5.1.2.16

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.1.2.17

Réécrivez $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ comme $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.1.2.18

Placez ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.2.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Étape 6.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}, 1$

Étape 6.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ par $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ par $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 1 = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ .

$- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

Étape 6.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.5.4

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.1.1

Simplifiez ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - x)}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.5.4.1.1.2

Simplifiez

$1 - x = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.2.1

Simplifiez ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$1 - x = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 6.5.4.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - x = \frac{1}{2^{2}}$

Étape 6.5.4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$1 - x = \frac{1}{4}$

Étape 6.5.5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.5.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = \frac{1}{4} - 1$

Étape 6.5.5.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 6.5.5.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Étape 6.5.5.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- x = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Étape 6.5.5.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.5.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- x = \frac{1 - 4}{4}$

Étape 6.5.5.1.5.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- x = \frac{- 3}{4}$

Étape 6.5.5.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x = - \frac{3}{4}$

Étape 6.5.5.2

Divisez chaque terme dans $- x = - \frac{3}{4}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - \frac{3}{4}$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Étape 6.5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Étape 6.5.5.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Étape 6.5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Étape 6.5.5.2.3.2

Divisez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{{(1 - x)}^{1}}}$

Étape 7.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{1 - x} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{1 - x})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - x}$ comme ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(1 - x)}^{1} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.4

Simplifiez

$4 (1 - x) = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 1 + 4 (- x) = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.6

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.6.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4 (- x) = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 - 4 x = 0^{2}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 - 4 x = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - 4$

Étape 7.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 4$ par $- 4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 4$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 7.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 7.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 7.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 4$ .

$x = 1$

Étape 7.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{1 - x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - x < 0$

Étape 7.5

Résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x < - 1$

Étape 7.5.2

Divisez chaque terme dans $- x < - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x < - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.5.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x > 1$

Étape 7.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{3}{4}, 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{1}{4 {(1 - (\frac{3}{4}))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{4 {(\frac{4}{4} - \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{4 {(\frac{4 - 3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$- \frac{1}{4 {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.1.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 10.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Étape 10.1.6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.6.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Étape 10.1.6.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{3}}}$

Étape 10.1.6.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Étape 10.2

Simplifiez les termes.

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Étape 10.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Étape 10.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Étape 10.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Étape 10.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 10.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 \cdot 2)$

Étape 10.4

Multipliez $- (1 \cdot 2)$ .

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Étape 10.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Étape 10.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2$

Étape 11

$x = \frac{3}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3}{4}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3}{4}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3}{4}) = (\frac{3}{4}) + \sqrt{1 - (\frac{3}{4})}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

Étape 12.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4 - 3}{4}}$

Étape 12.2.1.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 12.2.1.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 12.2.1.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 12.2.1.6

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 12.2.1.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 12.2.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 12.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 12.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 + 2}{4}$

Étape 12.2.5

Additionnez $3$ et $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{5}{4}$

Étape 12.2.6

La réponse finale est $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{1}{4 {(1 - (1))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{4 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 14.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

Étape 14.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

Étape 14.3.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$- \frac{1}{0}$

Étape 14.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{1}{0}$

Étape 14.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 15

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 16