Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{2 x} - e^{x}$

Étape 1

Écrivez $y = e^{2 x} - e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{2 x} - e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 x} - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{2 x} - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 3.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 3.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 3.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 3.2.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - e^{x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 x} - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 5.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 5.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 5.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 5.1.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 e^{2 x} - e^{x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 e^{2 x} - e^{x} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - e^{x} = 0$

Étape 6.2.2

Laissez $u = e^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x}$ par $u$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{2} - u$ .

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Étape 6.2.3.1

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Étape 6.2.3.2

Factorisez $u$ à partir de $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Étape 6.2.3.3

Factorisez $u$ à partir de $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Étape 6.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 e^{x} - 1 = 0$

Étape 6.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 6.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 6.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 6.5

Définissez $2 e^{x} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $2 e^{x} - 1$ égal à $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $2 e^{x} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 e^{x} = 1$

Étape 6.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 e^{x} = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 e^{x} = 1$ par $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.2.2.1.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 6.5.2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.4.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 6.5.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 6.5.2.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$ vraie.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \ln (\frac{1}{2})$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Simplifiez $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$4 e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 10.1.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 10.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 10.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 10.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 10.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 10.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 10.1.7

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$1 - \frac{1}{2}$

Étape 10.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 10.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - 1}{2}$

Étape 10.2.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 11

$x = \ln (\frac{1}{2})$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \ln (\frac{1}{2})$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \ln (\frac{1}{2})$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\ln (\frac{1}{2})$ dans l’expression.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Simplifiez $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 12.2.1.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 12.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 12.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 12.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Étape 12.2.1.6

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 12.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 12.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 12.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1 - 2}{4}$

Étape 12.2.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{- 1}{4}$

Étape 12.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = - \frac{1}{4}$

Étape 12.2.7

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = e^{2 x} - e^{x}$ .

$(\ln (\frac{1}{2}), - \frac{1}{4})$ est un minimum local

Étape 14