Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = \ln (2 x^{2} + 18)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x^{2} + 18$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{2} + 18$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{2} + 18$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 1.2.5

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x + 0)$

Étape 1.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x)$

Étape 1.2.6.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2 x^{2} + 18}$ .

$\frac{4}{2 x^{2} + 18} x$

Étape 1.2.6.3

Associez $\frac{4}{2 x^{2} + 18}$ et $x$ .

$\frac{4 x}{2 x^{2} + 18}$

Étape 1.2.6.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2 x^{2} + 18$ .

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Étape 1.2.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 18}$

Étape 1.2.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2}) + 18}$

Étape 1.2.6.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 2 \cdot 9}$

Étape 1.2.6.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot 9$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 9)}$

Étape 1.2.6.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 9)}$

Étape 1.2.6.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x}{x^{2} + 9}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{x^{2} + 9}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 9}]$ .

$h'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 9})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 9$ .

$h'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$h'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.3.2

Multipliez $x^{2} + 9$ par $1$ .

$h'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$h'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$h'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.3.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$h'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$h'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$h'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$h'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$h'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$h'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$h'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$h'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}})$

Étape 2.9

Associez $2$ et $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$h'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$h'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.10.2.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$h'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2 x}{x^{2} + 9} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x^{2} + 18$ .

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Étape 4.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{2} + 18$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Étape 4.1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Étape 4.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{2} + 18$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 4.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x + \frac{d}{d x} [18])$

Étape 4.1.2.5

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x + 0)$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.2.6.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x)$

Étape 4.1.2.6.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2 x^{2} + 18}$ .

$\frac{4}{2 x^{2} + 18} x$

Étape 4.1.2.6.3

Associez $\frac{4}{2 x^{2} + 18}$ et $x$ .

$\frac{4 x}{2 x^{2} + 18}$

Étape 4.1.2.6.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2 x^{2} + 18$ .

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Étape 4.1.2.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 18}$

Étape 4.1.2.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2}) + 18}$

Étape 4.1.2.6.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 2 \cdot 9}$

Étape 4.1.2.6.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot 9$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 9)}$

Étape 4.1.2.6.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 9)}$

Étape 4.1.2.6.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 9}$

Étape 4.2

La dérivée première de $h (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x}{x^{2} + 9}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 9}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x}{x^{2} + 9} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + 9} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{- 2 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{- 2 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0 + 18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 9.1.3

Additionnez $0$ et $18$ .

$\frac{18}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{18}{{(0 + 9)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$\frac{18}{9^{2}}$

Étape 9.2.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{18}{81}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $18$ et $81$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{9 (2)}{81}$

Étape 9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 9}$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 9}$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{9}$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$h (0) = \ln (2 {(0)}^{2} + 18)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$h (0) = \ln (2 \cdot 0 + 18)$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$h (0) = \ln (0 + 18)$

Étape 11.2.2

Additionnez $0$ et $18$ .

$h (0) = \ln (18)$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $\ln (18)$ .

$y = \ln (18)$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $h (x) = \ln (2 x^{2} + 18)$ .

$(0, \ln (18))$ est un minimum local

Étape 13