Calcul infinitésimal Exemples

$P (x) = - (x - 4) e^{x} - 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- (x - 4) e^{x} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x - 4) e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 4$ et $g (x) = e^{x}$ .

$- ((x - 4) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.8

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + 0$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x e^{x} - 4 e^{x} + e^{x}) + 0$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (x e^{x}) - (- 4 e^{x}) - e^{x} + 0$

Étape 1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- x e^{x} + 4 e^{x} - e^{x} + 0$

Étape 1.4.3.2

Soustrayez $e^{x}$ de $4 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} + 0$

Étape 1.4.3.3

Additionnez $- x e^{x} + 3 e^{x}$ et $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{x} x + 3 e^{x}$

Étape 1.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x e^{x} + 3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$P'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$P'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$P'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 2.2.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + 3 e^{x}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$P'' (x) = - (x e^{x}) - e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 2.4.2

Additionnez $- e^{x}$ et $3 e^{x}$ .

$P'' (x) = - x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$P'' (x) = - e^{x} x + 2 e^{x}$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$P'' (x) = - x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- (x - 4) e^{x} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x - 4) e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x - 4) e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} ((x - 4) e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 4$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = - ((x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 4.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 4.1.2.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 4.1.2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 4.1.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + 0$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - (x e^{x} - 4 e^{x} + e^{x}) + 0$

Étape 4.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - (x e^{x}) - (- 4 e^{x}) - e^{x} + 0$

Étape 4.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.3.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 4 e^{x} - e^{x} + 0$

Étape 4.1.4.3.2

Soustrayez $e^{x}$ de $4 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x} + 0$

Étape 4.1.4.3.3

Additionnez $- x e^{x} + 3 e^{x}$ et $0$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 4.1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - e^{x} x + 3 e^{x}$

Étape 4.1.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $P (x)$ par rapport à $x$ est $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + 3 e^{x} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $3 e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3$ .

$e^{x} (- x + 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.5

Définissez $- x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $- x + 3$ égal à $0$ .

$- x + 3 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $- x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (- x + 3) = 0$ vraie.

$x = 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 3 e^{3} + 2 e^{3}$

Étape 9

Additionnez $- 3 e^{3}$ et $2 e^{3}$ .

$- e^{3}$

Étape 10

$x = 3$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$P (3) = - ((3) - 4) \cdot e^{3} - 4$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Soustrayez $4$ de $3$ .

$P (3) = 1 \cdot e^{3} - 4$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$P (3) = 1 \cdot e^{3} - 4$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $e^{3}$ par $1$ .

$P (3) = e^{3} - 4$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $e^{3} - 4$ .

$y = e^{3} - 4$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $P (x) = - (x - 4) e^{x} - 4$ .

$(3, e^{3} - 4)$ est un maximum local

Étape 13