Calcul infinitésimal Exemples

$r (x) = 1911 x - 0.13 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1911 x - 0.13 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1911 x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1911 x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [1911 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $1911$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1911 x$ par rapport à $x$ est $1911 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1911 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1911 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $1911$ par $1$ .

$1911 + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 0.13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.13 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 0.13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1911 - 0.13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$1911 - 0.13 (3 x^{2})$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 0.13$ .

$1911 - 0.39 x^{2}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 0.39 x^{2} + 1911$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 0.39 x^{2} + 1911$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 0.39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1911]$ .

$r'' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.39 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1911)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 0.39 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 0.39$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.39 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 0.39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$r'' (x) = - 0.39 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1911)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$r'' (x) = - 0.39 (2 x) + \frac{d}{d x} (1911)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 0.39$ .

$r'' (x) = - 0.78 x + \frac{d}{d x} (1911)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $1911$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1911$ par rapport à $x$ est $0$ .

$r'' (x) = - 0.78 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 0.78 x$ et $0$ .

$r'' (x) = - 0.78 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 0.39 x^{2} + 1911 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1911 x - 0.13 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1911 x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1911 x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [1911 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $1911$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1911 x$ par rapport à $x$ est $1911 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1911 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1911 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $1911$ par $1$ .

$1911 + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 0.13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.13 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 0.13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1911 - 0.13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$1911 - 0.13 (3 x^{2})$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 0.13$ .

$1911 - 0.39 x^{2}$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 0.39 x^{2} + 1911$

Étape 4.2

La dérivée première de $r (x)$ par rapport à $x$ est $- 0.39 x^{2} + 1911$ .

$- 0.39 x^{2} + 1911$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 0.39 x^{2} + 1911 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 0.39 x^{2} + 1911 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1911$ des deux côtés de l’équation.

$- 0.39 x^{2} = - 1911$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 0.39 x^{2} = - 1911$ par $- 0.39$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 0.39 x^{2} = - 1911$ par $- 0.39$ .

$\frac{- 0.39 x^{2}}{- 0.39} = \frac{- 1911}{- 0.39}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.39$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.39 x^{2}}{- 0.39} = \frac{- 1911}{- 0.39}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1911}{- 0.39}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $- 1911$ par $- 0.39$ .

$x^{2} = 4900$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4900}$

Étape 5.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4900}$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez $4900$ comme $70^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{70^{2}}$

Étape 5.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 70$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 70$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 70$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 70, - 70$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 70, - 70$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 70$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 0.78 \cdot 70$

Étape 9

Multipliez $- 0.78$ par $70$ .

$- 54.6$

Étape 10

$x = 70$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 70$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 70$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $70$ dans l’expression.

$r (70) = 1911 (70) - 0.13 {(70)}^{3}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $1911$ par $70$ .

$r (70) = 133770 - 0.13 {(70)}^{3}$

Étape 11.2.1.2

Élevez $70$ à la puissance $3$ .

$r (70) = 133770 - 0.13 \cdot 343000$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 0.13$ par $343000$ .

$r (70) = 133770 - 44590$

Étape 11.2.2

Soustrayez $44590$ de $133770$ .

$r (70) = 89180$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $89180$ .

$y = 89180$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 70$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 0.78 \cdot - 70$

Étape 13

Multipliez $- 0.78$ par $- 70$ .

$54.6$

Étape 14

$x = - 70$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 70$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 70$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 70$ dans l’expression.

$r (- 70) = 1911 (- 70) - 0.13 {(- 70)}^{3}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Multipliez $1911$ par $- 70$ .

$r (- 70) = - 133770 - 0.13 {(- 70)}^{3}$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 70$ à la puissance $3$ .

$r (- 70) = - 133770 - 0.13 \cdot - 343000$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 0.13$ par $- 343000$ .

$r (- 70) = - 133770 + 44590$

Étape 15.2.2

Additionnez $- 133770$ et $44590$ .

$r (- 70) = - 89180$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 89180$ .

$y = - 89180$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $r (x) = 1911 x - 0.13 x^{3}$ .

$(70, 89180)$ est un maximum local

$(- 70, - 89180)$ est un minimum local

Étape 17