Calcul infinitésimal Exemples

$r (t) = \frac{34 t}{t^{2} + 289}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $34$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{34 t}{t^{2} + 289}$ par rapport à $t$ est $34 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 289}]$ .

$34 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 289}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = t^{2} + 289$ .

$34 \frac{(t^{2} + 289) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 289]}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$34 \frac{(t^{2} + 289) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 289]}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $t^{2} + 289$ par $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 289]}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 289$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [289]$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [289])}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (2 t + \frac{d}{d t} [289])}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $289$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $289$ par rapport à $t$ est $0$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (2 t)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.8

Soustrayez $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$34 \frac{- t^{2} + 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.9

Associez $34$ et $\frac{- t^{2} + 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$ .

$\frac{34 (- t^{2} + 289)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{34 (- t^{2}) + 34 \cdot 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $34$ .

$\frac{- 34 t^{2} + 34 \cdot 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 1.10.2.2

Multipliez $34$ par $289$ .

$\frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} \frac{d}{d t} (- 34 t^{2} + 9826) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{({(t^{2} + 289)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(t^{2} + 289)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} \frac{d}{d t} (- 34 t^{2} + 9826) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} \frac{d}{d t} (- 34 t^{2} + 9826) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 34 t^{2} + 9826$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [- 34 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9826]$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (\frac{d}{d t} (- 34 t^{2}) + \frac{d}{d t} (9826)) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 34$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 34 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 34 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 34 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (9826)) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 34 (2 t) + \frac{d}{d t} (9826)) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $- 34$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t + \frac{d}{d t} (9826)) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.2.6

Comme $9826$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $9826$ par rapport à $t$ est $0$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t + 0) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.2.7

Additionnez $- 68 t$ et $0$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - (- 34 t^{2} + 9826) \frac{d}{d t} {(t^{2} + 289)}^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t^{2} + 289$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2} + 289$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - (- 34 t^{2} + 9826) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d t} (t^{2} + 289))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - (- 34 t^{2} + 9826) (2 u \frac{d}{d t} (t^{2} + 289))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} + 289$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - (- 34 t^{2} + 9826) (2 (t^{2} + 289) \frac{d}{d t} (t^{2} + 289))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 2 (- 34 t^{2} + 9826) ((t^{2} + 289) \frac{d}{d t} (t^{2} + 289))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 289$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [289]$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 2 (- 34 t^{2} + 9826) ((t^{2} + 289) (\frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (289)))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 2 (- 34 t^{2} + 9826) ((t^{2} + 289) (2 t + \frac{d}{d t} (289)))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.4.4

Comme $289$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $289$ par rapport à $t$ est $0$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 2 (- 34 t^{2} + 9826) ((t^{2} + 289) (2 t + 0))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.5.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 2 (- 34 t^{2} + 9826) ((t^{2} + 289) (2 t))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.4.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $t^{2} + 289$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 2 (- 34 t^{2} + 9826) (2 \cdot ((t^{2} + 289) t))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.4.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) - 4 (- 34 t^{2} + 9826) ((t^{2} + 289) t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) ((t^{2} + 289) t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$r'' (t) = \frac{{(t^{2} + 289)}^{2} (- 68 t) + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$r'' (t) = \frac{- 68 {(t^{2} + 289)}^{2} t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.2

Réécrivez ${(t^{2} + 289)}^{2}$ comme $(t^{2} + 289) (t^{2} + 289)$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 ((t^{2} + 289) (t^{2} + 289)) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3

Développez $(t^{2} + 289) (t^{2} + 289)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{2} (t^{2} + 289) + 289 (t^{2} + 289)) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot 289 + 289 (t^{2} + 289)) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot 289 + 289 t^{2} + 289 \cdot 289) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.4.1.1

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot 289 + 289 t^{2} + 289 \cdot 289) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{4} + t^{2} \cdot 289 + 289 t^{2} + 289 \cdot 289) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.2

Déplacez $289$ à gauche de $t^{2}$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{4} + 289 \cdot t^{2} + 289 t^{2} + 289 \cdot 289) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.1.3

Multipliez $289$ par $289$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{4} + 289 t^{2} + 289 t^{2} + 83521) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.4.2

Additionnez $289 t^{2}$ et $289 t^{2}$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 (t^{4} + 578 t^{2} + 83521) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$r'' (t) = \frac{(- 68 t^{4} - 68 (578 t^{2}) - 68 \cdot 83521) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.6

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1.6.1

Multipliez $578$ par $- 68$ .

$r'' (t) = \frac{(- 68 t^{4} - 39304 t^{2} - 68 \cdot 83521) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.6.2

Multipliez $- 68$ par $83521$ .

$r'' (t) = \frac{(- 68 t^{4} - 39304 t^{2} - 5679428) t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{4} t - 39304 t^{2} t - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1.8.1

Multipliez $t^{4}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.8.1.1

Déplacez $t$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 (t \cdot t^{4}) - 39304 t^{2} t - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.2

Multipliez $t$ par $t^{4}$ .

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Étape 2.5.3.1.8.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 (t \cdot t^{4}) - 39304 t^{2} t - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{1 + 4} - 39304 t^{2} t - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{2} t - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.8.2.1

Déplacez $t$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 (t \cdot t^{2}) - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 2.5.3.1.8.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 (t \cdot t^{2}) - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{1 + 2} - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.8.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + (- 4 (- 34 t^{2}) - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.9.1

Multipliez $- 34$ par $- 4$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + (136 t^{2} - 4 \cdot 9826) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.9.2

Multipliez $- 4$ par $9826$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + (136 t^{2} - 39304) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.3.1.10.1

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 2.5.3.1.10.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + (136 t^{2} - 39304) (t^{2} t + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + (136 t^{2} - 39304) (t^{2 + 1} + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.10.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + (136 t^{2} - 39304) (t^{3} + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11

Développez $(136 t^{2} - 39304) (t^{3} + 289 t)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{2} (t^{3} + 289 t) - 39304 (t^{3} + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{2} t^{3} + 136 t^{2} (289 t) - 39304 (t^{3} + 289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{2} t^{3} + 136 t^{2} (289 t) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.3.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.12.1.1

Multipliez $t^{2}$ par $t^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.12.1.1.1

Déplacez $t^{3}$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 (t^{3} t^{2}) + 136 t^{2} (289 t) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{3 + 2} + 136 t^{2} (289 t) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 136 t^{2} (289 t) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 136 \cdot (289 t^{2} t) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.3

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.3.1.12.1.3.1

Déplacez $t$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 136 \cdot (289 (t \cdot t^{2})) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.3.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 2.5.3.1.12.1.3.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 136 \cdot (289 (t \cdot t^{2})) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 136 \cdot (289 t^{1 + 2}) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 136 \cdot (289 t^{3}) - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.4

Multipliez $136$ par $289$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 39304 t^{3} - 39304 t^{3} - 39304 (289 t)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.1.5

Multipliez $289$ par $- 39304$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 39304 t^{3} - 39304 t^{3} - 11358856 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.2

Soustrayez $39304 t^{3}$ de $39304 t^{3}$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} + 0 - 11358856 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.1.12.3

Additionnez $136 t^{5}$ et $0$ .

$r'' (t) = \frac{- 68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t + 136 t^{5} - 11358856 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.2

Additionnez $- 68 t^{5}$ et $136 t^{5}$ .

$r'' (t) = \frac{68 t^{5} - 39304 t^{3} - 5679428 t - 11358856 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.3.3

Soustrayez $11358856 t$ de $- 5679428 t$ .

$r'' (t) = \frac{68 t^{5} - 39304 t^{3} - 17038284 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1

Factorisez $68 t$ à partir de $68 t^{5} - 39304 t^{3} - 17038284 t$ .

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Étape 2.5.4.1.1

Factorisez $68 t$ à partir de $68 t^{5}$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{4}) - 39304 t^{3} - 17038284 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.2

Factorisez $68 t$ à partir de $- 39304 t^{3}$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{4}) + 68 t (- 578 t^{2}) - 17038284 t}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.3

Factorisez $68 t$ à partir de $- 17038284 t$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{4}) + 68 t (- 578 t^{2}) + 68 t (- 250563)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.4

Factorisez $68 t$ à partir de $68 t (t^{4}) + 68 t (- 578 t^{2})$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{4} - 578 t^{2}) + 68 t (- 250563)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.4.1.5

Factorisez $68 t$ à partir de $68 t (t^{4} - 578 t^{2}) + 68 t (- 250563)$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{4} - 578 t^{2} - 250563)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

$r'' (t) = \frac{68 t ({(t^{2})}^{2} - 578 t^{2} - 250563)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.4.3

Laissez $u = t^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $t^{2}$ par $u$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (u^{2} - 578 u - 250563)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.4.4

Factorisez $u^{2} - 578 u - 250563$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.5.4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 250563$ et dont la somme est $- 578$ .

$- 867, 289$

Étape 2.5.4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$r'' (t) = \frac{68 t ((u - 867) (u + 289))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2}$ .

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{2} - 867) (t^{2} + 289)}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.5

Annulez le facteur commun à $t^{2} + 289$ et ${(t^{2} + 289)}^{4}$ .

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Étape 2.5.5.1

Factorisez $t^{2} + 289$ à partir de $68 t (t^{2} - 867) (t^{2} + 289)$ .

$r'' (t) = \frac{(t^{2} + 289) (68 t (t^{2} - 867))}{{(t^{2} + 289)}^{4}}$

Étape 2.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.5.2.1

Factorisez $t^{2} + 289$ à partir de ${(t^{2} + 289)}^{4}$ .

$r'' (t) = \frac{(t^{2} + 289) (68 t (t^{2} - 867))}{(t^{2} + 289) {(t^{2} + 289)}^{3}}$

Étape 2.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$r'' (t) = \frac{(t^{2} + 289) (68 t (t^{2} - 867))}{(t^{2} + 289) {(t^{2} + 289)}^{3}}$

Étape 2.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$r'' (t) = \frac{68 t (t^{2} - 867)}{{(t^{2} + 289)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $34$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{34 t}{t^{2} + 289}$ par rapport à $t$ est $34 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 289}]$ .

$34 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 289}]$

Étape 4.1.2

$34 \frac{(t^{2} + 289) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 289]}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$34 \frac{(t^{2} + 289) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 289]}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $t^{2} + 289$ par $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 289]}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 289$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [289]$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [289])}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (2 t + \frac{d}{d t} [289])}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.3.5

Comme $289$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $289$ par rapport à $t$ est $0$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.6.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - t (2 t)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$34 \frac{t^{2} + 289 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.8

Soustrayez $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$34 \frac{- t^{2} + 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.9

Associez $34$ et $\frac{- t^{2} + 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$ .

$\frac{34 (- t^{2} + 289)}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.10

Simplifiez

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Étape 4.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{34 (- t^{2}) + 34 \cdot 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $34$ .

$\frac{- 34 t^{2} + 34 \cdot 289}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.1.10.2.2

Multipliez $34$ par $289$ .

$f' (t) = \frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $r (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$ .

$\frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 34 t^{2} + 9826}{{(t^{2} + 289)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 34 t^{2} + 9826 = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $9826$ des deux côtés de l’équation.

$- 34 t^{2} = - 9826$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $- 34 t^{2} = - 9826$ par $- 34$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 34 t^{2} = - 9826$ par $- 34$ .

$\frac{- 34 t^{2}}{- 34} = \frac{- 9826}{- 34}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 34$ .

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Étape 5.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 34 t^{2}}{- 34} = \frac{- 9826}{- 34}$

Étape 5.3.2.2.1.2

Divisez $t^{2}$ par $1$ .

$t^{2} = \frac{- 9826}{- 34}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez $- 9826$ par $- 34$ .

$t^{2} = 289$

Étape 5.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{289}$

Étape 5.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{289}$ .

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Étape 5.3.4.1

Réécrivez $289$ comme $17^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{17^{2}}$

Étape 5.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$t = \pm 17$

Étape 5.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = 17$

Étape 5.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - 17$

Étape 5.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = 17, - 17$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$t = 17, - 17$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 17$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{68 (17) ({(17)}^{2} - 867)}{{({(17)}^{2} + 289)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $68$ par $17$ .

$\frac{1156 (17^{2} - 867)}{{(17^{2} + 289)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$\frac{1156 (17^{2} - 867)}{{(289 + 289)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $289$ et $289$ .

$\frac{1156 (17^{2} - 867)}{578^{3}}$

Étape 9.2.3

Élevez $578$ à la puissance $3$ .

$\frac{1156 (17^{2} - 867)}{193100552}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$\frac{1156 (289 - 867)}{193100552}$

Étape 9.3.2

Soustrayez $867$ de $289$ .

$\frac{1156 \cdot - 578}{193100552}$

Étape 9.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Multipliez $1156$ par $- 578$ .

$\frac{- 668168}{193100552}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun à $- 668168$ et $193100552$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.2.1

Factorisez $668168$ à partir de $- 668168$ .

$\frac{668168 (- 1)}{193100552}$

Étape 9.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.2.2.1

Factorisez $668168$ à partir de $193100552$ .

$\frac{668168 \cdot - 1}{668168 \cdot 289}$

Étape 9.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{668168 \cdot - 1}{668168 \cdot 289}$

Étape 9.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{289}$

Étape 9.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{289}$

Étape 10

$t = 17$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = 17$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $t = 17$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $t$ par $17$ dans l’expression.

$r (17) = \frac{34 (17)}{{(17)}^{2} + 289}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Multipliez $34$ par $17$ .

$r (17) = \frac{578}{17^{2} + 289}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$r (17) = \frac{578}{289 + 289}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $289$ et $289$ .

$r (17) = \frac{578}{578}$

Étape 11.2.3

Divisez $578$ par $578$ .

$r (17) = 1$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $t = - 17$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{68 (- 17) ({(- 17)}^{2} - 867)}{{({(- 17)}^{2} + 289)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $68$ par $- 17$ .

$\frac{- 1156 ({(- 17)}^{2} - 867)}{{({(- 17)}^{2} + 289)}^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 1156 ({(- 17)}^{2} - 867)}{{(289 + 289)}^{3}}$

Étape 13.2.2

Additionnez $289$ et $289$ .

$\frac{- 1156 ({(- 17)}^{2} - 867)}{578^{3}}$

Étape 13.2.3

Élevez $578$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 1156 ({(- 17)}^{2} - 867)}{193100552}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 1156 (289 - 867)}{193100552}$

Étape 13.3.2

Soustrayez $867$ de $289$ .

$\frac{- 1156 \cdot - 578}{193100552}$

Étape 13.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.4.1

Multipliez $- 1156$ par $- 578$ .

$\frac{668168}{193100552}$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun à $668168$ et $193100552$ .

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Étape 13.4.2.1

Factorisez $668168$ à partir de $668168$ .

$\frac{668168 (1)}{193100552}$

Étape 13.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.2.2.1

Factorisez $668168$ à partir de $193100552$ .

$\frac{668168 \cdot 1}{668168 \cdot 289}$

Étape 13.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{668168 \cdot 1}{668168 \cdot 289}$

Étape 13.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{289}$

Étape 14

$t = - 17$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = - 17$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $t = - 17$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $t$ par $- 17$ dans l’expression.

$r (- 17) = \frac{34 (- 17)}{{(- 17)}^{2} + 289}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Multipliez $34$ par $- 17$ .

$r (- 17) = \frac{- 578}{{(- 17)}^{2} + 289}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.2.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$r (- 17) = \frac{- 578}{289 + 289}$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $289$ et $289$ .

$r (- 17) = \frac{- 578}{578}$

Étape 15.2.3

Divisez $- 578$ par $578$ .

$r (- 17) = - 1$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $r (t) = \frac{34 t}{t^{2} + 289}$ .

$(17, 1)$ est un maximum local

$(- 17, - 1)$ est un minimum local

Étape 17