Calcul infinitésimal Exemples

$s (x) = - x^{2} - 20 x - 19$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} - 20 x - 19$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$- 2 x - 20 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 19$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 19$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x - 20 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 2 x - 20$ et $0$ .

$- 2 x - 20$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x - 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$s'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$s'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$s'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$s'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- 20)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$s'' (x) = - 2 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$s'' (x) = - 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 x - 20 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} - 20 x - 19$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$- 2 x - 20 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 19$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 19$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x - 20 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $- 2 x - 20$ et $0$ .

$f' (x) = - 2 x - 20$

Étape 4.2

La dérivée première de $s (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x - 20$ .

$- 2 x - 20$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x - 20 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x - 20 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x = 20$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 20$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 20$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{20}{- 2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{20}{- 2}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{20}{- 2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $20$ par $- 2$ .

$x = - 10$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 10$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 10$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2$

Étape 9

$x = - 10$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 10$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = - 10$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $- 10$ dans l’expression.

$s (- 10) = - {(- 10)}^{2} - 20 \cdot - 10 - 19$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$s (- 10) = - 1 \cdot 100 - 20 \cdot - 10 - 19$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$s (- 10) = - 100 - 20 \cdot - 10 - 19$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $- 20$ par $- 10$ .

$s (- 10) = - 100 + 200 - 19$

Étape 10.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.2.2.1

Additionnez $- 100$ et $200$ .

$s (- 10) = 100 - 19$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $19$ de $100$ .

$s (- 10) = 81$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $81$ .

$y = 81$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $s (x) = - x^{2} - 20 x - 19$ .

$(- 10, 81)$ est un maximum local

Étape 12