Calcul infinitésimal Exemples

$h (t) = 2 t^{3} - 25.9 t^{2} + 1110$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t^{3} - 25.9 t^{2} + 1110$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{3}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 25.9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 25.9 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 25.9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$6 t^{2} - 25.9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 t^{2} - 25.9 (2 t) + \frac{d}{d t} [1110]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 25.9$ .

$6 t^{2} - 51.8 t + \frac{d}{d t} [1110]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $1110$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1110$ par rapport à $t$ est $0$ .

$6 t^{2} - 51.8 t + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $6 t^{2} - 51.8 t$ et $0$ .

$6 t^{2} - 51.8 t$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 t^{2} - 51.8 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 51.8 t]$ .

$h'' (t) = \frac{d}{d t} (6 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 51.8 t)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [6 t^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6 t^{2}$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$h'' (t) = 6 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 51.8 t)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$h'' (t) = 6 (2 t) + \frac{d}{d t} (- 51.8 t)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$h'' (t) = 12 t + \frac{d}{d t} (- 51.8 t)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 51.8 t]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 51.8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 51.8 t$ par rapport à $t$ est $- 51.8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$h'' (t) = 12 t - 51.8 \frac{d}{d t} t$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$h'' (t) = 12 t - 51.8 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 51.8$ par $1$ .

$h'' (t) = 12 t - 51.8$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 t^{2} - 51.8 t = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t^{3} - 25.9 t^{2} + 1110$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1110]$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (2 t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 25.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1110)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{3}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$f' (t) = 2 \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 25.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1110)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (t) = 2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 25.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1110)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (t) = 6 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 25.9 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1110)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 25.9 t^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 25.9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 25.9 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 25.9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = 6 t^{2} - 25.9 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (1110)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (t) = 6 t^{2} - 25.9 (2 t) + \frac{d}{d t} (1110)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 25.9$ .

$f' (t) = 6 t^{2} - 51.8 t + \frac{d}{d t} (1110)$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $1110$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1110$ par rapport à $t$ est $0$ .

$f' (t) = 6 t^{2} - 51.8 t + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $6 t^{2} - 51.8 t$ et $0$ .

$f' (t) = 6 t^{2} - 51.8 t$

Étape 4.2

La dérivée première de $h (t)$ par rapport à $t$ est $6 t^{2} - 51.8 t$ .

$6 t^{2} - 51.8 t$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 t^{2} - 51.8 t = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 t^{2} - 51.8 t = 0$

Étape 5.2

Factorisez $0.2 t$ à partir de $6 t^{2} - 51.8 t$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $0.2 t$ à partir de $6 t^{2}$ .

$0.2 t (30 t) - 51.8 t = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $0.2 t$ à partir de $- 51.8 t$ .

$0.2 t (30 t) + 0.2 t (- 259) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $0.2 t$ à partir de $0.2 t (30 t) + 0.2 t (- 259)$ .

$0.2 t (30 t - 259) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

$30 t - 259 = 0$

Étape 5.4

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 5.5

Définissez $30 t - 259$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $30 t - 259$ égal à $0$ .

$30 t - 259 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $30 t - 259 = 0$ pour $t$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $259$ aux deux côtés de l’équation.

$30 t = 259$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $30 t = 259$ par $30$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $30 t = 259$ par $30$ .

$\frac{30 t}{30} = \frac{259}{30}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{30 t}{30} = \frac{259}{30}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{259}{30}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $0.2 t (30 t - 259) = 0$ vraie.

$t = 0, \frac{259}{30}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$t = 0, \frac{259}{30}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (0) - 51.8$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 - 51.8$

Étape 9.2

Soustrayez $51.8$ de $0$ .

$- 51.8$

Étape 10

$t = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $t = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $t$ par $0$ dans l’expression.

$h (0) = 2 {(0)}^{3} - 25.9 {(0)}^{2} + 1110$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$h (0) = 2 \cdot 0 - 25.9 {(0)}^{2} + 1110$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$h (0) = 0 - 25.9 {(0)}^{2} + 1110$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$h (0) = 0 - 25.9 \cdot 0 + 1110$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 25.9$ par $0$ .

$h (0) = 0 + 0 + 1110$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$h (0) = 0 + 1110$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $1110$ .

$h (0) = 1110$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $1110$ .

$y = 1110$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $t = \frac{259}{30}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 (\frac{259}{30}) - 51.8$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 13.1.1.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$6 (2) \frac{259}{30} - 51.8$

Étape 13.1.1.2

Factorisez $6$ à partir de $30$ .

$6 \cdot 2 \frac{259}{6 \cdot 5} - 51.8$

Étape 13.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$6 \cdot 2 \frac{259}{6 \cdot 5} - 51.8$

Étape 13.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{259}{5}) - 51.8$

Étape 13.1.2

Associez $2$ et $\frac{259}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 259}{5} - 51.8$

Étape 13.1.3

Multipliez $2$ par $259$ .

$\frac{518}{5} - 51.8$

Étape 13.2

Pour écrire $- 51.8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{518}{5} - 51.8 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 13.3

Associez $- 51.8$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{518}{5} + \frac{- 51.8 \cdot 5}{5}$

Étape 13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{518 - 51.8 \cdot 5}{5}$

Étape 13.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.5.1

Multipliez $- 51.8$ par $5$ .

$\frac{518 - 259}{5}$

Étape 13.5.2

Soustrayez $259$ de $518$ .

$\frac{259}{5}$

Étape 13.6

Annulez le facteur commun à $259$ et $5$ .

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Étape 13.6.1

Réécrivez $259$ comme $1 (259)$ .

$\frac{1 (259)}{5}$

Étape 13.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.6.2.1

Réécrivez $5$ comme $1 (5)$ .

$\frac{1 \cdot 259}{1 \cdot 5}$

Étape 13.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 \cdot 259}{1 \cdot 5}$

Étape 13.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{259}{5}$

Étape 14

$t = \frac{259}{30}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = \frac{259}{30}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $t = \frac{259}{30}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $t$ par $\frac{259}{30}$ dans l’expression.

$h (\frac{259}{30}) = 2 {(\frac{259}{30})}^{3} - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{259}{30}$ .

$h (\frac{259}{30}) = 2 (\frac{259^{3}}{30^{3}}) - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Étape 15.2.1.2

Élevez $259$ à la puissance $3$ .

$h (\frac{259}{30}) = 2 (\frac{17373979}{30^{3}}) - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Étape 15.2.1.3

Élevez $30$ à la puissance $3$ .

$h (\frac{259}{30}) = 2 (\frac{17373979}{27000}) - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Étape 15.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $27000$ .

$h (\frac{259}{30}) = 2 (\frac{17373979}{2 (13500)}) - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Étape 15.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$h (\frac{259}{30}) = 2 (\frac{17373979}{2 \cdot 13500}) - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Étape 15.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} - 25.9 {(\frac{259}{30})}^{2} + 1110$

Étape 15.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{259}{30}$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} - 25.9 \frac{259^{2}}{30^{2}} + 1110$

Étape 15.2.1.6

Élevez $259$ à la puissance $2$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} - 25.9 \frac{67081}{30^{2}} + 1110$

Étape 15.2.1.7

Élevez $30$ à la puissance $2$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} - 25.9 (\frac{67081}{900}) + 1110$

Étape 15.2.1.8

Multipliez $- 25.9 (\frac{67081}{900})$ .

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Étape 15.2.1.8.1

Associez $- 25.9$ et $\frac{67081}{900}$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 25.9 \cdot 67081}{900} + 1110$

Étape 15.2.1.8.2

Multipliez $- 25.9$ par $67081$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1737397.9}{900} + 1110$

Étape 15.2.1.9

Divisez $- 1737397.9$ par $900$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} - 1930.442\overline{1} + 1110$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Écrivez $- 1930.442\overline{1}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1930.442\overline{1}}{1} + 1110$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{- 1930.442\overline{1}}{1}$ par $\frac{13500}{13500}$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1930.442\overline{1}}{1} \cdot \frac{13500}{13500} + 1110$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{- 1930.442\overline{1}}{1}$ par $\frac{13500}{13500}$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1930.442\overline{1} \cdot 13500}{13500} + 1110$

Étape 15.2.2.4

Écrivez $1110$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1930.442\overline{1} \cdot 13500}{13500} + \frac{1110}{1}$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $\frac{1110}{1}$ par $\frac{13500}{13500}$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1930.442\overline{1} \cdot 13500}{13500} + \frac{1110}{1} \cdot \frac{13500}{13500}$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $\frac{1110}{1}$ par $\frac{13500}{13500}$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979}{13500} + \frac{- 1930.442\overline{1} \cdot 13500}{13500} + \frac{1110 \cdot 13500}{13500}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979 - 1930.442\overline{1} \cdot 13500 + 1110 \cdot 13500}{13500}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Multipliez $- 1930.442\overline{1}$ par $13500$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979 - 26060968.5 + 1110 \cdot 13500}{13500}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $1110$ par $13500$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{17373979 - 26060968.5 + 14985000}{13500}$

Étape 15.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.5.1

Soustrayez $26060968.5$ de $17373979$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{- 8686989.5 + 14985000}{13500}$

Étape 15.2.5.2

Additionnez $- 8686989.5$ et $14985000$ .

$h (\frac{259}{30}) = \frac{6298010.5}{13500}$

Étape 15.2.5.3

Divisez $6298010.5$ par $13500$ .

$h (\frac{259}{30}) = 466.519\overline{296}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $466.519\overline{296}$ .

$y = 466.519\overline{296}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $h (t) = 2 t^{3} - 25.9 t^{2} + 1110$ .

$(0, 1110)$ est un maximum local

$(\frac{259}{30}, 466.519\overline{296})$ est un minimum local

Étape 17