Calcul infinitésimal Exemples

$H (t) = \frac{5}{4} t^{8} - t^{10}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5}{4} t^{8} - t^{10}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{5}{4} t^{8}] + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{4} t^{8}] + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{5}{4} t^{8}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{5}{4}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{5}{4} t^{8}$ par rapport à $t$ est $\frac{5}{4} \frac{d}{d t} [t^{8}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{5}{4} (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 1.2.3

Associez $8$ et $\frac{5}{4}$ .

$\frac{8 \cdot 5}{4} t^{7} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 1.2.4

Multipliez $8$ par $5$ .

$\frac{40}{4} t^{7} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{40}{4}$ et $t^{7}$ .

$\frac{40 t^{7}}{4} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun à $40$ et $4$ .

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $40 t^{7}$ .

$\frac{4 (10 t^{7})}{4} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (10 t^{7})}{4 (1)} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (10 t^{7})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 t^{7}}{1} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 1.2.6.2.4

Divisez $10 t^{7}$ par $1$ .

$10 t^{7} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- t^{10}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{10}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{10}]$ .

$10 t^{7} - \frac{d}{d t} [t^{10}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$10 t^{7} - (10 t^{9})$

Étape 1.3.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$10 t^{7} - 10 t^{9}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 10 t^{9} + 10 t^{7}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [- 10 t^{9}] + \frac{d}{d t} [10 t^{7}]$ .

$H'' (t) = \frac{d}{d t} (- 10 t^{9}) + \frac{d}{d t} (10 t^{7})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 10 t^{9}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 10 t^{9}$ par rapport à $t$ est $- 10 \frac{d}{d t} [t^{9}]$ .

$H'' (t) = - 10 \frac{d}{d t} t^{9} + \frac{d}{d t} (10 t^{7})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$H'' (t) = - 10 (9 t^{8}) + \frac{d}{d t} (10 t^{7})$

Étape 2.2.3

Multipliez $9$ par $- 10$ .

$H'' (t) = - 90 t^{8} + \frac{d}{d t} (10 t^{7})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [10 t^{7}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $10 t^{7}$ par rapport à $t$ est $10 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ .

$H'' (t) = - 90 t^{8} + 10 \frac{d}{d t} (t^{7})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$H'' (t) = - 90 t^{8} + 10 (7 t^{6})$

Étape 2.3.3

Multipliez $7$ par $10$ .

$H'' (t) = - 90 t^{8} + 70 t^{6}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 10 t^{9} + 10 t^{7} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5}{4} t^{8} - t^{10}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{5}{4} t^{8}] + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{4} t^{8}] + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{5}{4} t^{8}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{5}{4}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{5}{4} t^{8}$ par rapport à $t$ est $\frac{5}{4} \frac{d}{d t} [t^{8}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{5}{4} (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 4.1.2.3

Associez $8$ et $\frac{5}{4}$ .

$\frac{8 \cdot 5}{4} t^{7} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $8$ par $5$ .

$\frac{40}{4} t^{7} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 4.1.2.5

Associez $\frac{40}{4}$ et $t^{7}$ .

$\frac{40 t^{7}}{4} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 4.1.2.6

Annulez le facteur commun à $40$ et $4$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $40 t^{7}$ .

$\frac{4 (10 t^{7})}{4} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 4.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (10 t^{7})}{4 (1)} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 4.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (10 t^{7})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 4.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 t^{7}}{1} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 4.1.2.6.2.4

Divisez $10 t^{7}$ par $1$ .

$10 t^{7} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- t^{10}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{10}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{10}]$ .

$10 t^{7} - \frac{d}{d t} [t^{10}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$10 t^{7} - (10 t^{9})$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$10 t^{7} - 10 t^{9}$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (t) = - 10 t^{9} + 10 t^{7}$

Étape 4.2

La dérivée première de $H (t)$ par rapport à $t$ est $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ .

$- 10 t^{9} + 10 t^{7}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 10 t^{9} + 10 t^{7} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 10 t^{9} + 10 t^{7} = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $- 10 t^{7}$ à partir de $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 10 t^{7}$ à partir de $- 10 t^{9}$ .

$- 10 t^{7} t^{2} + 10 t^{7} = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- 10 t^{7}$ à partir de $10 t^{7}$ .

$- 10 t^{7} t^{2} - 10 t^{7} \cdot - 1 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $- 10 t^{7}$ à partir de $- 10 t^{7} (t^{2}) - 10 t^{7} (- 1)$ .

$- 10 t^{7} (t^{2} - 1) = 0$

Étape 5.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 10 t^{7} (t^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez.

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Étape 5.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 1$ .

$- 10 t^{7} ((t + 1) (t - 1)) = 0$

Étape 5.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 10 t^{7} (t + 1) (t - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t^{7} = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $t^{7}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $t^{7}$ égal à $0$ .

$t^{7} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $t^{7} = 0$ pour $t$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \sqrt[7]{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[7]{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{7}$ .

$t = \sqrt[7]{0^{7}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$t = 0$

Étape 5.5

Définissez $t + 1$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $t + 1$ égal à $0$ .

$t + 1 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$t = - 1$

Étape 5.6

Définissez $t - 1$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $t - 1$ égal à $0$ .

$t - 1 = 0$

Étape 5.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 1$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 10 t^{7} (t + 1) (t - 1) = 0$ vraie.

$t = 0, - 1, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$t = 0, - 1, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $t = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 90 {(0)}^{8} + 70 {(0)}^{6}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 90 \cdot 0 + 70 {(0)}^{6}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 90$ par $0$ .

$0 + 70 {(0)}^{6}$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 70 \cdot 0$

Étape 9.1.4

Multipliez $70$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $t$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée première $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $t$ par $- 4$ dans l’expression.

$H' (- 4) = - 10 {(- 4)}^{9} + 10 {(- 4)}^{7}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $9$ .

$H' (- 4) = - 10 \cdot - 262144 + 10 {(- 4)}^{7}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $- 10$ par $- 262144$ .

$H' (- 4) = 2621440 + 10 {(- 4)}^{7}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $7$ .

$H' (- 4) = 2621440 + 10 \cdot - 16384$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $10$ par $- 16384$ .

$H' (- 4) = 2621440 - 163840$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $163840$ de $2621440$ .

$H' (- 4) = 2457600$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $2457600$ .

$2457600$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.5$ , de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée première $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $t$ par $- 0.5$ dans l’expression.

$H' (- 0.5) = - 10 {(- 0.5)}^{9} + 10 {(- 0.5)}^{7}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $- 0.5$ à la puissance $9$ .

$H' (- 0.5) = - 10 \cdot - 0.00195312 + 10 {(- 0.5)}^{7}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $- 10$ par $- 0.00195312$ .

$H' (- 0.5) = 0.01953125 + 10 {(- 0.5)}^{7}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $- 0.5$ à la puissance $7$ .

$H' (- 0.5) = 0.01953125 + 10 \cdot - 0.0078125$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $10$ par $- 0.0078125$ .

$H' (- 0.5) = 0.01953125 - 0.078125$

Étape 10.3.2.2

Soustrayez $0.078125$ de $0.01953125$ .

$H' (- 0.5) = - 0.05859375$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $- 0.05859375$ .

$- 0.05859375$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $0.5$ , de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée première $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $t$ par $0.5$ dans l’expression.

$H' (0.5) = - 10 {(0.5)}^{9} + 10 {(0.5)}^{7}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $0.5$ à la puissance $9$ .

$H' (0.5) = - 10 \cdot 0.00195312 + 10 {(0.5)}^{7}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $- 10$ par $0.00195312$ .

$H' (0.5) = - 0.01953125 + 10 {(0.5)}^{7}$

Étape 10.4.2.1.3

Élevez $0.5$ à la puissance $7$ .

$H' (0.5) = - 0.01953125 + 10 \cdot 0.0078125$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $10$ par $0.0078125$ .

$H' (0.5) = - 0.01953125 + 0.078125$

Étape 10.4.2.2

Additionnez $- 0.01953125$ et $0.078125$ .

$H' (0.5) = 0.05859375$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $0.05859375$ .

$0.05859375$

Étape 10.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.5.1

Remplacez la variable $t$ par $4$ dans l’expression.

$H' (4) = - 10 {(4)}^{9} + 10 {(4)}^{7}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $9$ .

$H' (4) = - 10 \cdot 262144 + 10 {(4)}^{7}$

Étape 10.5.2.1.2

Multipliez $- 10$ par $262144$ .

$H' (4) = - 2621440 + 10 {(4)}^{7}$

Étape 10.5.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $7$ .

$H' (4) = - 2621440 + 10 \cdot 16384$

Étape 10.5.2.1.4

Multipliez $10$ par $16384$ .

$H' (4) = - 2621440 + 163840$

Étape 10.5.2.2

Additionnez $- 2621440$ et $163840$ .

$H' (4) = - 2457600$

Étape 10.5.2.3

La réponse finale est $- 2457600$ .

$- 2457600$

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $t = - 1$ , $t = - 1$ est un maximum local.

$t = - 1$ est un maximum local

Étape 10.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $t = 0$ , $t = 0$ est un minimum local.

$t = 0$ est un minimum local

Étape 10.8

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $t = 1$ , $t = 1$ est un maximum local.

$t = 1$ est un maximum local

Étape 10.9

Ce sont les extrema locaux pour $H (t) = \frac{5}{4} t^{8} - t^{10}$ .

$t = - 1$ est un maximum local

$t = 0$ est un minimum local

$t = 1$ est un maximum local

$t = - 1$ est un maximum local

$t = 0$ est un minimum local

$t = 1$ est un maximum local

Étape 11