Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \sin (2 x) + 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sin (2 x) + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 + \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$1 + 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 2 \cos (2 x) + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1 + 2 \cos (2 x)$ et $0$ .

$1 + 2 \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \sin (2 x)$

Étape 2.3

Soustrayez $4 \sin (2 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 + 2 \cos (2 x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (2 x) = - 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Étape 6

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{2 π}{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{2 π}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{3}$

Étape 9

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 10.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 10.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 10.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 10.1.5

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Étape 10.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{4 π}{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{4 π}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Étape 10.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 10.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 10.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 11

La solution de l’équation est $2 x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{3}))$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 13.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 4 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 13.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sqrt{3}$

Étape 14

$x = \frac{π}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{3}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{3}) = (\frac{π}{3}) + \sin (2 (\frac{π}{3})) + 4$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{2 π}{3}) + 4$

Étape 15.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{π}{3}) + 4$

Étape 15.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

Étape 15.2.2

La réponse finale est $\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$ .

$y = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2 π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Multipliez $2 (\frac{2 π}{3})$ .

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Étape 17.1.1

Associez $2$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$- 4 \sin (\frac{2 (2 π)}{3})$

Étape 17.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 4 \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 17.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 17.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 17.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.4.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 (- \sqrt{3})$

Étape 17.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \sqrt{3}$

Étape 18

$x = \frac{2 π}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2 π}{3}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3})) + 4$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Multipliez $2 (\frac{2 π}{3})$ .

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Étape 19.2.1.1.1

Associez $2$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) + 4$

Étape 19.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (\frac{4 π}{3}) + 4$

Étape 19.2.1.2

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \sin (\frac{π}{3}) + 4$

Étape 19.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

Étape 19.2.2

La réponse finale est $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$ .

$y = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x + \sin (2 x) + 4$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 4)$ est un maximum local

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 4)$ est un minimum local

Étape 21