Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Étape 1.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 - 2 \sin (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Étape 2.3

Soustrayez $4 \cos (2 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 - 2 \sin (2 x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (2 x) = - 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (2 x) = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (2 x) = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 9

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 10.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 10.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 10.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 6$ .

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Étape 10.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 10.1.4.2

Soustrayez $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Étape 10.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 10.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Étape 10.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 11

La solution de l’équation est $2 x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{12}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Étape 13.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Étape 13.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 13.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 \sqrt{3}$

Étape 14

$x = \frac{π}{12}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{12}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{12}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = (\frac{π}{12}) + \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

Étape 15.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

Étape 15.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

Étape 15.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 15.2.2

La réponse finale est $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{12}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (6)})$

Étape 17.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 6})$

Étape 17.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 \cos (\frac{5 π}{6})$

Étape 17.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 4 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 17.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 17.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.4.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 (- \sqrt{3})$

Étape 17.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \sqrt{3}$

Étape 18

$x = \frac{5 π}{12}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{12}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{12}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = (\frac{5 π}{12}) + \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

Étape 19.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

Étape 19.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Étape 19.2.1.2

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

Étape 19.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 19.2.2

La réponse finale est $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ est un maximum local

$(\frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ est un minimum local

Étape 21