Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = 3 t^{2} + 5 t - 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} + 5 t - 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$6 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$6 t + 5 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $6 t + 5$ et $0$ .

$6 t + 5$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 t + 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$g'' (t) = \frac{d}{d t} (6 t) + \frac{d}{d t} (5)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [6 t]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6 t$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$g'' (t) = 6 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (5)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (t) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (5)$

Étape 2.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$g'' (t) = 6 + \frac{d}{d t} (5)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$g'' (t) = 6 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$g'' (t) = 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 t + 5 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} + 5 t - 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$6 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 4]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$6 t + 5 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $6 t + 5$ et $0$ .

$f' (t) = 6 t + 5$

Étape 4.2

La dérivée première de $g (t)$ par rapport à $t$ est $6 t + 5$ .

$6 t + 5$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 t + 5 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 t + 5 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$6 t = - 5$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $6 t = - 5$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $6 t = - 5$ par $6$ .

$\frac{6 t}{6} = \frac{- 5}{6}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 t}{6} = \frac{- 5}{6}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{- 5}{6}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{5}{6}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$t = - \frac{5}{6}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $t = - \frac{5}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6$

Étape 9

$t = - \frac{5}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = - \frac{5}{6}$ est un minimum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $t = - \frac{5}{6}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $t$ par $- \frac{5}{6}$ dans l’expression.

$g (- \frac{5}{6}) = 3 {(- \frac{5}{6})}^{2} + 5 (- \frac{5}{6}) - 4$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{6}$ .

$g (- \frac{5}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{6})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{6}) - 4$

Étape 10.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{6}$ .

$g (- \frac{5}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{6^{2}})) + 5 (- \frac{5}{6}) - 4$

Étape 10.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$g (- \frac{5}{6}) = 3 (1 (\frac{5^{2}}{6^{2}})) + 5 (- \frac{5}{6}) - 4$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{6^{2}}$ par $1$ .

$g (- \frac{5}{6}) = 3 (\frac{5^{2}}{6^{2}}) + 5 (- \frac{5}{6}) - 4$

Étape 10.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$g (- \frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{6^{2}}) + 5 (- \frac{5}{6}) - 4$

Étape 10.2.1.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$g (- \frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{36}) + 5 (- \frac{5}{6}) - 4$

Étape 10.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$g (- \frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{3 (12)}) + 5 (- \frac{5}{6}) - 4$

Étape 10.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$g (- \frac{5}{6}) = 3 (\frac{25}{3 \cdot 12}) + 5 (- \frac{5}{6}) - 4$

Étape 10.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25}{12} + 5 (- \frac{5}{6}) - 4$

Étape 10.2.1.7

Multipliez $5 (- \frac{5}{6})$ .

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Étape 10.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - 5 (\frac{5}{6}) - 4$

Étape 10.2.1.7.2

Associez $- 5$ et $\frac{5}{6}$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25}{12} + \frac{- 5 \cdot 5}{6} - 4$

Étape 10.2.1.7.3

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25}{12} + \frac{- 25}{6} - 4$

Étape 10.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25}{6} - 4$

Étape 10.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $\frac{25}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - (\frac{25}{6} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $\frac{25}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} - 4$

Étape 10.2.2.3

Écrivez $- 4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

Étape 10.2.2.4

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Étape 10.2.2.5

Multipliez $\frac{- 4}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 12}{12}$

Étape 10.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $6 \cdot 2$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 6} + \frac{- 4 \cdot 12}{12}$

Étape 10.2.2.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{12} + \frac{- 4 \cdot 12}{12}$

Étape 10.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 4 \cdot 12}{12}$

Étape 10.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.4.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25 - 50 - 4 \cdot 12}{12}$

Étape 10.2.4.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{25 - 50 - 48}{12}$

Étape 10.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.5.1

Soustrayez $50$ de $25$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{- 25 - 48}{12}$

Étape 10.2.5.2

Soustrayez $48$ de $- 25$ .

$g (- \frac{5}{6}) = \frac{- 73}{12}$

Étape 10.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (- \frac{5}{6}) = - \frac{73}{12}$

Étape 10.2.6

La réponse finale est $- \frac{73}{12}$ .

$y = - \frac{73}{12}$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $g (t) = 3 t^{2} + 5 t - 4$ .

$(- \frac{5}{6}, - \frac{73}{12})$ est un minimum local

Étape 12