Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 1.2.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 1.2.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 1.2.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 1.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 1.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 1.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 1.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Étape 1.3.8

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$1 + x^{- 2} - 6 x^{- 4}$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 4}$

Étape 1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Associez des termes.

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Étape 1.6.1.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Étape 1.6.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}}$

Étape 1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.8

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + 24 x^{- 5} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}} + 24 x^{- 5} + 0$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Étape 2.5.3

Associez des termes.

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Étape 2.5.3.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Étape 2.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Étape 2.5.3.3

Associez $24$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}} + 0$

Étape 2.5.3.4

Additionnez $- \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Étape 4.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Étape 4.1.2.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 4.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 4.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 4.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Étape 4.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 4.1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 4.1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 4.1.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 4.1.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 4.1.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 4.1.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 4.1.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Étape 4.1.3.8

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} - 6 x^{- 4}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 4}$

Étape 4.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Associez des termes.

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Étape 4.1.6.1.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Étape 4.1.6.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}}$

Étape 4.1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, x^{4}, 1, 1$

Étape 5.2.2

Since $x^{2}, x^{4}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{4}$ .

Étape 5.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 5.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 5.2.6

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 5.2.7

Les facteurs pour $x^{4}$ sont $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $4$ fois.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $4$ fois.

Étape 5.2.8

Le plus petit multiple commun de $x^{2}, x^{4}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Étape 5.2.9

Simplifiez $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Étape 5.2.9.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Étape 5.2.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.9.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.2.9.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Étape 5.2.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Étape 5.2.9.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Étape 5.2.9.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.9.3.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Étape 5.2.9.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 1}$

Étape 5.2.9.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ par $x^{4}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ par $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{4} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6}{x^{4}}$ dans le numérateur.

$x^{2} + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 6 + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{2} - 6 + x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{4}$ .

$x^{2} - 6 + x^{4} = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + u - 6 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 5.4.2

Factorisez $u^{2} + u - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 5.4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Étape 5.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 3 = 0$

Étape 5.4.4

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.4.4.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 5.4.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 5.4.5

Définissez $u + 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.4.5.1

Définissez $u + 3$ égal à $0$ .

$u + 3 = 0$

Étape 5.4.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 3$

Étape 5.4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 2) (u + 3) = 0$ vraie.

$u = 2, - 3$

Étape 5.4.7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 2$

${(x^{2})}^{1} = - 3$

Étape 5.4.8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 2$

Étape 5.4.9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 5.4.9.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.4.9.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 5.4.9.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 5.4.9.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 5.4.10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 3$

Étape 5.4.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.4.11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 3$

Étape 5.4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 5.4.11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 5.4.11.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 5.4.11.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 5.4.11.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Étape 5.4.11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

Étape 5.4.11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 5.4.11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 5.4.12

La solution à $x^{4} + x^{2} - 6 = 0$ est $x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{6}{x^{4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{4} = 0$

Étape 6.4

Résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 6.4.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 6.4.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 6.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.4.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2^{3}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2}{\sqrt{8}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 9.1.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{2}{\sqrt{4 (2)}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Étape 9.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.5.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{5}$ comme $\sqrt{2^{5}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{2^{5}}}$

Étape 9.1.5.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{32}}$

Étape 9.1.5.3

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 9.1.5.3.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{16 (2)}}$

Étape 9.1.5.3.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}$

Étape 9.1.5.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{4 \sqrt{2}}$

Étape 9.1.6

Annulez le facteur commun à $24$ et $4$ .

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Étape 9.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 \sqrt{2}}$

Étape 9.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 (\sqrt{2})}$

Étape 9.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 \sqrt{2}}$

Étape 9.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{\sqrt{2}}$

Étape 9.1.7

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 9.1.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.8.1

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.1.8.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 9.1.8.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 9.1.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 9.1.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 9.1.8.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.1.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.1.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.1.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.1.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 9.1.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 9.1.9

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 9.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Étape 9.1.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 9.1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 9.1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Étape 9.1.9.2.4

Divisez $3 \sqrt{2}$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sqrt{2}$

Étape 9.2

Pour écrire $3 \sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Associez $3 \sqrt{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Étape 9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Étape 9.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{- \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 9.4.2

Additionnez $- \sqrt{2}$ et $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 10

$x = \sqrt{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \sqrt{2}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \sqrt{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2.1.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2.1.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Étape 11.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{2^{3}}}$

Étape 11.2.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{8}}$

Étape 11.2.1.3.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{4 (2)}}$

Étape 11.2.1.3.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 11.2.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2 \sqrt{2}}$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2 \sqrt{2}}$

Étape 11.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 11.2.1.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 11.2.1.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 11.2.1.6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 11.2.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 11.2.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 11.2.1.6.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.2.1.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.2.1.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 11.2.1.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.1.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.2.1.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 11.2.1.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 11.2.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $- \sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{0}{2}$

Étape 11.2.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + 0$

Étape 11.2.2.3.2

Additionnez $\sqrt{2}$ et $0$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2}$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{2}{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2}{- {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{2^{3}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{8}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.1.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{4 (2)}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{2}{- 1 \cdot 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{2}{- 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{- 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (- \sqrt{2})} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (- \sqrt{2})} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{- \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.4

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.5.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.6

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 13.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Étape 13.1.7

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}}$

Étape 13.1.7.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- {\sqrt{2}}^{5}}$

Étape 13.1.7.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{5}$ comme $\sqrt{2^{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{2^{5}}}$

Étape 13.1.7.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{32}}$

Étape 13.1.7.5

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.7.5.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{16 (2)}}$

Étape 13.1.7.5.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{4^{2} \cdot 2}}$

Étape 13.1.7.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- 1 \cdot 4 \sqrt{2}}$

Étape 13.1.7.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- 4 \sqrt{2}}$

Étape 13.1.8

Annulez le facteur commun à $24$ et $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 (6)}{- 4 \sqrt{2}}$

Étape 13.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 (6)}{4 (- \sqrt{2})}$

Étape 13.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 (- \sqrt{2})}$

Étape 13.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{- \sqrt{2}}$

Étape 13.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{\sqrt{2}}$

Étape 13.1.10

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 13.1.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1.11.1

Multipliez $\frac{6}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 13.1.11.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 13.1.11.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 13.1.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 13.1.11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 13.1.11.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.11.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.1.11.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 13.1.11.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 13.1.11.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.11.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 13.1.11.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 13.1.11.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 13.1.12

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.12.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Étape 13.1.12.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 13.1.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 13.1.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Étape 13.1.12.2.4

Divisez $3 \sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (3 \sqrt{2})$

Étape 13.1.13

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \sqrt{2}$

Étape 13.2

Pour écrire $- 3 \sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 13.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Associez $- 3 \sqrt{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Étape 13.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Étape 13.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{\sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{2}$

Étape 13.4.2

Soustrayez $6 \sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 13.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 14

$x = - \sqrt{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \sqrt{2}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \sqrt{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) - \frac{1}{- \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 15.2.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.2.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 15.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Étape 15.2.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

Étape 15.2.1.5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- {\sqrt{2}}^{3}}$

Étape 15.2.1.5.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{2^{3}}}$

Étape 15.2.1.5.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{8}}$

Étape 15.2.1.5.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 15.2.1.5.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{4 (2)}}$

Étape 15.2.1.5.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 15.2.1.5.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Étape 15.2.1.5.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- 2 \sqrt{2}}$

Étape 15.2.1.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 2$ .

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Étape 15.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (1)}{- 2 \sqrt{2}}$

Étape 15.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (1)}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 15.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 (- \sqrt{2})}$

Étape 15.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Étape 15.2.1.7

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 15.2.1.7.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{2}}$

Étape 15.2.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 15.2.1.8

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 15.2.1.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.9.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 15.2.1.9.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 15.2.1.9.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 15.2.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 15.2.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 15.2.1.9.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.2.1.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 15.2.1.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 15.2.1.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.2.1.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.2.1.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 15.2.1.9.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 15.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 15.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Étape 15.2.2.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{0}{2}$

Étape 15.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + 0$

Étape 15.2.2.3.2

Additionnez $- \sqrt{2}$ et $0$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2}$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ .

$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ est un minimum local

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ est un maximum local

Étape 17