Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{32}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{32}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$1 + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$1 + 32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 1.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 1.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 1.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 + 32 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 1.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 1.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.2.10

Multipliez $- 2$ par $32$ .

$1 - 64 x^{- 3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Associez des termes.

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Étape 1.4.1.1

Associez $- 64$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Étape 1.4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{64}{x^{3}}$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{64}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.8

Multipliez $- 3$ par $- 64$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $192$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $\frac{192}{x^{4}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{32}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{32}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 4.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 4.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 4.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 4.1.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 4.1.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Étape 4.1.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 4.1.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- 2$ par $32$ .

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.1.1

Associez $- 64$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Étape 4.1.4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

Étape 4.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ .

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{64}{x^{3}} = - 1$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ par $x^{3}$ .

$- \frac{64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{64}{x^{3}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Étape 5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Étape 5.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 64 = - x^{3}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{3} = - 64$ .

$- x^{3} = - 64$

Étape 5.5.2

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{3} + 64 = 0$

Étape 5.5.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.5.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3} + 64$ .

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Étape 5.5.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 64 = 0$

Étape 5.5.3.1.2

Réécrivez $64$ comme $- 1 (- 64)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 64 = 0$

Étape 5.5.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - 1 (- 64)$ .

$- (x^{3} - 64) = 0$

Étape 5.5.3.2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$- (x^{3} - 4^{3}) = 0$

Étape 5.5.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 5.5.3.4

Factorisez.

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Étape 5.5.3.4.1

Simplifiez

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Étape 5.5.3.4.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

Étape 5.5.3.4.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

Étape 5.5.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Étape 5.5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 5.5.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.5.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5.5.6

Définissez $x^{2} + 4 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.6.1

Définissez $x^{2} + 4 x + 16$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 5.5.6.2

Résolvez $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3

Simplifiez

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Étape 5.5.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.6.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 5.5.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.5.6.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 5.5.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.6.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 5.5.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.6.2.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 5.5.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Étape 5.5.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.6.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 5.5.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.5.6.2.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 5.5.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 5.5.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 5.5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ vraie.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{64}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{192}{{(4)}^{4}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\frac{192}{256}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $192$ et $256$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$\frac{64 (3)}{256}$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $64$ à partir de $256$ .

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4}$

Étape 10

$x = 4$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = (4) + \frac{32}{{(4)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = 4 + \frac{32}{16}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $32$ par $16$ .

$f (4) = 4 + 2$

Étape 11.2.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$f (4) = 6$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $6$ .

$y = 6$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$ .

$(4, 6)$ est un minimum local

Étape 13