Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 \sin (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$9 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$9 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$9 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$9 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Étape 1.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 1.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 1.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Étape 1.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 1.13

Simplifiez

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Étape 1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 (- \sin^{2} (x)) + 9 \cos^{2} (x)$

Étape 1.13.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 \sin^{2} (x) + 9 \cos^{2} (x)$

Étape 1.13.3

Réécrivez $9 \cos^{2} (x)$ comme ${(3 \cos (x))}^{2}$ .

$- 9 \sin^{2} (x) + {(3 \cos (x))}^{2}$

Étape 1.13.4

Réécrivez $9 \sin^{2} (x)$ comme ${(3 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(3 \sin (x))}^{2} + {(3 \cos (x))}^{2}$

Étape 1.13.5

Remettez dans l’ordre $- {(3 \sin (x))}^{2}$ et ${(3 \cos (x))}^{2}$ .

${(3 \cos (x))}^{2} - {(3 \sin (x))}^{2}$

Étape 1.13.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 \cos (x)$ et $b = 3 \sin (x)$ .

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - (3 \sin (x)))$

Étape 1.13.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

Étape 1.13.8

Développez $(3 \cos (x) + 3 \sin (x)) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.13.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cos (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

Étape 1.13.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x) - 3 \sin (x))$

Étape 1.13.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Étape 1.13.9

Associez les termes opposés dans $3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 3 \sin (x)) + 3 \sin (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ .

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Étape 1.13.9.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 \cos (x) (- 3 \sin (x))$ et $3 \sin (x) (3 \cos (x))$ .

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) - 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Étape 1.13.9.2

Additionnez $- 3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x)$ et $3 \cdot 3 \cos (x) \sin (x)$ .

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 0 + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Étape 1.13.9.3

Additionnez $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ et $0$ .

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Étape 1.13.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.13.10.1

Multipliez $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ .

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Étape 1.13.10.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 \cos (x) \cos (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Étape 1.13.10.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Étape 1.13.10.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Étape 1.13.10.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Étape 1.13.10.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$

Étape 1.13.10.2

Multipliez $3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ .

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Étape 1.13.10.2.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin (x) \sin (x)$

Étape 1.13.10.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Étape 1.13.10.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Étape 1.13.10.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 \cos^{2} (x) - 9 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 1.13.10.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 9 \sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 9 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 9 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 9 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 9 \sin^{2} (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 \sin^{2} (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 \frac{d}{d x} \sin^{2} (x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 9 (2 \sin (x) \cos (x))$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x)$

Étape 2.4

Associez des termes.

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Étape 2.4.1

Réorganisez les facteurs de $- 18 \sin (x) \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.4.2

Soustrayez $18 \cos (x) \sin (x)$ de $- 18 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 36 \cos (x) \sin (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 4

Factorisez $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $9$ à partir de $9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x)$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 \cos^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 9 \sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) + 9 (- \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 \cos^{2} (x) + 9 (- \sin^{2} (x))$ .

$9 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 4.2

Factorisez.

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Étape 4.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$9 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$9 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 6

Définissez $\cos (x) + \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos (x) + \sin (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x) + \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6.2.4

Séparez les fractions.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 6.2.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 6.2.6

Divisez $0$ par $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 6.2.7

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Étape 6.2.8

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) = - 1$

Étape 6.2.9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 6.2.10

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.10.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 6.2.11

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 6.2.12

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.2.12.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 6.2.12.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 6.2.13

La solution de l’équation est $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Étape 7

Définissez $\cos (x) - \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $\cos (x) - \sin (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $\cos (x) - \sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2.3

Séparez les fractions.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2.5

Divisez $- 1$ par $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7.2.6

Séparez les fractions.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 7.2.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 7.2.8

Divisez $0$ par $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 7.2.9

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Étape 7.2.10

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = - 1$

Étape 7.2.11

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.2.11.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2.11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.11.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2.11.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 7.2.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.11.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Étape 7.2.12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 7.2.13

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.13.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 7.2.14

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.15

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 7.2.15.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.15.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.15.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.15.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 7.2.15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.15.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 7.2.15.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 7.2.16

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $9 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 36 \cos (- \frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 36 \cos (\frac{7 π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Étape 10.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 36 \cos (\frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

Étape 10.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Étape 10.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 18 \sqrt{2} \sin (- \frac{π}{4})$

Étape 10.5

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 18 \sqrt{2} \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 10.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- 18 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 10.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 18 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 10.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$- 18 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 10.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18 \sqrt{2}$ .

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 10.8.3

Annulez le facteur commun.

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 10.8.4

Réécrivez l’expression.

$- 9 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 10.9

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 10.10

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Étape 10.11

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Étape 10.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 10.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 10.14

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 10.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 10.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 10.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 10.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$9 \cdot 2^{1}$

Étape 10.14.5

Évaluez l’exposant.

$9 \cdot 2$

Étape 10.15

Multipliez $9$ par $2$ .

$18$

Étape 11

$x = - \frac{π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{π}{4}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = 9 \sin (- \frac{π}{4}) \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 9 \sin (\frac{7 π}{4}) \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 12.2.2

$f (- \frac{π}{4}) = 9 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 12.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 9 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 12.2.4

Multipliez $9 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 9 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 12.2.4.2

Associez $- 9$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 12.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (- \frac{π}{4})$

Étape 12.2.6

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4})$

Étape 12.2.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4})$

Étape 12.2.8

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 12.2.9

Multipliez $- \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.9.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2} (9 \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 12.2.9.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 12.2.9.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 12.2.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 12.2.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 12.2.9.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 12.2.10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 12.2.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 12.2.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 12.2.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 12.2.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 12.2.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Étape 12.2.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Étape 12.2.11

Multipliez $9$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{18}{4}$

Étape 12.2.12

Annulez le facteur commun à $18$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 (9)}{4}$

Étape 12.2.12.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Étape 12.2.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Étape 12.2.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{9}{2}$

Étape 12.2.13

La réponse finale est $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 36 \cos (\frac{3 π}{4}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 36 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 14.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$- 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 14.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 14.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 14.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 18 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 14.4

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 14.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 14.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 14.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.7.1

Factorisez $2$ à partir de $18 \sqrt{2}$ .

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 14.7.2

Annulez le facteur commun.

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 14.7.3

Réécrivez l’expression.

$9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 14.8

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Étape 14.9

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Étape 14.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 14.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 14.12

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.12.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 14.12.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 14.12.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 14.12.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.12.4.1

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 14.12.4.2

Réécrivez l’expression.

$9 \cdot 2^{1}$

Étape 14.12.5

Évaluez l’exposant.

$9 \cdot 2$

Étape 14.13

Multipliez $9$ par $2$ .

$18$

Étape 15

$x = \frac{3 π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{4}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 16.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 9 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 16.2.3

Associez $9$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 16.2.4

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 16.2.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 16.2.6

Multipliez $\frac{9 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.6.1

Multipliez $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 16.2.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 16.2.6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 16.2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 16.2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 16.2.6.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 16.2.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 16.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 16.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 16.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 16.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Étape 16.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Étape 16.2.8

Multipliez $9$ par $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{18}{4}$

Étape 16.2.9

Annulez le facteur commun à $18$ et $4$ .

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Étape 16.2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 (9)}{4}$

Étape 16.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Étape 16.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Étape 16.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{9}{2}$

Étape 16.2.10

La réponse finale est $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 36 \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 18.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 18.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 18 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 18.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 18 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 18.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 18 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 18.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18 \sqrt{2}$ .

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 18.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 (- 9 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 18.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 18.5

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Étape 18.6

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Étape 18.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 18.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 9 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 18.9

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 18.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 18.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 18.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 18.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 9 \cdot 2^{1}$

Étape 18.9.5

Évaluez l’exposant.

$- 9 \cdot 2$

Étape 18.10

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$- 18$

Étape 19

$x = \frac{π}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{4}$ est un maximum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 9 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 9 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{4})$

Étape 20.2.2

Associez $9$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4})$

Étape 20.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 20.2.4

Multipliez $\frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.4.1

Multipliez $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 20.2.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 20.2.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 20.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 20.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 20.2.4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 20.2.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 20.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 20.2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 20.2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 20.2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 20.2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Étape 20.2.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Étape 20.2.6

Multipliez $9$ par $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{18}{4}$

Étape 20.2.7

Annulez le facteur commun à $18$ et $4$ .

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Étape 20.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (9)}{4}$

Étape 20.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 20.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Étape 20.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Étape 20.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{9}{2}$

Étape 20.2.8

La réponse finale est $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 36 \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 22

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 22.1

$- 36 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 22.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 36 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 22.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$- 36 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 22.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$2 (- 18) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 22.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 18 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 22.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 18 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 22.4

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

$18 \sqrt{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Étape 22.5

$18 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 22.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$18 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 22.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$18 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 22.7.2

Factorisez $2$ à partir de $18 \sqrt{2}$ .

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 22.7.3

Annulez le facteur commun.

$2 (9 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 22.7.4

Réécrivez l’expression.

$9 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 22.8

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 22.9

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Étape 22.10

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Étape 22.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 22.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 9 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 22.13

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 22.13.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 22.13.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 22.13.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 22.13.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.13.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 22.13.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 9 \cdot 2^{1}$

Étape 22.13.5

Évaluez l’exposant.

$- 9 \cdot 2$

Étape 22.14

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$- 18$

Étape 23

$x = \frac{5 π}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{4}$ est un maximum local

Étape 24

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Étape 24.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 24.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 24.2.1

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 24.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 9 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 24.2.3

Multipliez $9 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 24.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 9 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 24.2.3.2

Associez $- 9$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 24.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 24.2.5

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 24.2.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 24.2.7

Multipliez $- \frac{9 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 24.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 (\frac{9 \sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 24.2.7.2

Multipliez $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 24.2.7.3

Multipliez $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 24.2.7.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 24.2.7.5

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 24.2.7.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 24.2.7.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 24.2.7.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 24.2.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 24.2.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 24.2.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 24.2.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 24.2.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 24.2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 24.2.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Étape 24.2.8.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9 \cdot 2}{4}$

Étape 24.2.9

Multipliez $9$ par $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{18}{4}$

Étape 24.2.10

Annulez le facteur commun à $18$ et $4$ .

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Étape 24.2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (9)}{4}$

Étape 24.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 24.2.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Étape 24.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Étape 24.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{9}{2}$

Étape 24.2.11

La réponse finale est $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Étape 25

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \frac{9}{2})$ est un minimum local

$(\frac{3 π}{4}, - \frac{9}{2})$ est un minimum local

$(\frac{π}{4}, \frac{9}{2})$ est un maximum local

$(\frac{5 π}{4}, \frac{9}{2})$ est un maximum local

Étape 26