Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 9 - 9 x - \frac{16}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - 9 x - \frac{16}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$0 - 9 + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{16}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 9 - 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - 9 - 16 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$0 - 9 - 16 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - 9 - 16 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$0 - 9 - 16 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 9 - 16 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 9 - 16 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - 9 - 16 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 9 - 16 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 1.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 - 9 - 16 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - 9 - 16 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 1.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$0 - 9 - 16 (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 16$ .

$0 - 9 + 32 x^{- 3}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 9 + 32 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Soustrayez $9$ de $0$ .

$- 9 + 32 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.4.2.2

Associez $32$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- 9 + \frac{32}{x^{3}}$

Étape 1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{32}{x^{3}} - 9$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{32}{x^{3}} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{32}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 32 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$f'' (x) = 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 32 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 32 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 32 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = 32 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 32 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 32 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.8

Multipliez $- 3$ par $32$ .

$f'' (x) = - 96 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.3

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 96 x^{- 4} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 96 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 96$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 96}{x^{4}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{96}{x^{4}} + 0$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $- \frac{96}{x^{4}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{96}{x^{4}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{32}{x^{3}} - 9 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - 9 x - \frac{16}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Étape 4.1.1.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$0 - 9 + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{2}}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{16}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 9 - 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 4.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - 9 - 16 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$0 - 9 - 16 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - 9 - 16 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$0 - 9 - 16 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 9 - 16 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 4.1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 4.1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 9 - 16 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 4.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - 9 - 16 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 4.1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 9 - 16 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 4.1.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 - 9 - 16 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 4.1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - 9 - 16 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 4.1.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$0 - 9 - 16 (- 2 x^{- 3})$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 16$ .

$0 - 9 + 32 x^{- 3}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 9 + 32 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 4.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.2.1

Soustrayez $9$ de $0$ .

$- 9 + 32 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 4.1.4.2.2

Associez $32$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- 9 + \frac{32}{x^{3}}$

Étape 4.1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{32}{x^{3}} - 9$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{32}{x^{3}} - 9$ .

$\frac{32}{x^{3}} - 9$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{32}{x^{3}} - 9 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{32}{x^{3}} - 9 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{32}{x^{3}} = 9$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{3}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{32}{x^{3}} = 9$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{32}{x^{3}} = 9$ par $x^{3}$ .

$\frac{32}{x^{3}} x^{3} = 9 x^{3}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{32}{x^{3}} x^{3} = 9 x^{3}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$32 = 9 x^{3}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $9 x^{3} = 32$ .

$9 x^{3} = 32$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $9 x^{3} = 32$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x^{3} = 32$ par $9$ .

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{32}{9}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{32}{9}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{32}{9}$

Étape 5.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{\frac{32}{9}}$

Étape 5.5.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{32}{9}}$ .

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Étape 5.5.4.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{32}{9}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{9}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{9}}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.4.2.1

Réécrivez $32$ comme $2^{3} \cdot 4$ .

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Étape 5.5.4.2.1.1

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{8 (4)}}{\sqrt[3]{9}}$

Étape 5.5.4.2.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4}}{\sqrt[3]{9}}$

Étape 5.5.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}$

Étape 5.5.4.3

Multipliez $\frac{2 \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Étape 5.5.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.4.4.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Étape 5.5.4.4.2

Élevez $\sqrt[3]{9}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Étape 5.5.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

Étape 5.5.4.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

Étape 5.5.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ comme $9$ .

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Étape 5.5.4.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{9}$ comme $9^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.5.4.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.5.4.4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.5.4.4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.4.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.5.4.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

Étape 5.5.4.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

Étape 5.5.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.4.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{9^{2}}$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} \sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

Étape 5.5.4.5.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} \sqrt[3]{81}}{9}$

Étape 5.5.4.5.3

Réécrivez $81$ comme $3^{3} \cdot 3$ .

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Étape 5.5.4.5.3.1

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} \sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

Étape 5.5.4.5.3.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} \sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

Étape 5.5.4.5.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{4} \cdot 3 \sqrt[3]{3}}{9}$

Étape 5.5.4.5.5

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.5.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 \sqrt[3]{4} \sqrt[3]{3}}{9}$

Étape 5.5.4.5.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \frac{6 \sqrt[3]{3 \cdot 4}}{9}$

Étape 5.5.4.5.5.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$x = \frac{6 \sqrt[3]{12}}{9}$

Étape 5.5.4.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6 \sqrt[3]{12}$ .

$x = \frac{3 (2 \sqrt[3]{12})}{9}$

Étape 5.5.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$x = \frac{3 (2 \sqrt[3]{12})}{3 (3)}$

Étape 5.5.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 (2 \sqrt[3]{12})}{3 \cdot 3}$

Étape 5.5.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{32}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{96}{{(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3})}^{4}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ .

$- \frac{96}{\frac{{(2 \sqrt[3]{12})}^{4}}{3^{4}}}$

Étape 9.1.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[3]{12}$ .

$- \frac{96}{\frac{2^{4} {\sqrt[3]{12}}^{4}}{3^{4}}}$

Étape 9.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- \frac{96}{\frac{16 {\sqrt[3]{12}}^{4}}{3^{4}}}$

Étape 9.1.2.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{12}}^{4}$ comme $\sqrt[3]{12^{4}}$ .

$- \frac{96}{\frac{16 \sqrt[3]{12^{4}}}{3^{4}}}$

Étape 9.1.2.4

Élevez $12$ à la puissance $4$ .

$- \frac{96}{\frac{16 \sqrt[3]{20736}}{3^{4}}}$

Étape 9.1.2.5

Réécrivez $20736$ comme $12^{3} \cdot 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.5.1

Factorisez $1728$ à partir de $20736$ .

$- \frac{96}{\frac{16 \sqrt[3]{1728 (12)}}{3^{4}}}$

Étape 9.1.2.5.2

Réécrivez $1728$ comme $12^{3}$ .

$- \frac{96}{\frac{16 \sqrt[3]{12^{3} \cdot 12}}{3^{4}}}$

Étape 9.1.2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{96}{\frac{16 \cdot 12 \sqrt[3]{12}}{3^{4}}}$

Étape 9.1.2.7

Multipliez $16$ par $12$ .

$- \frac{96}{\frac{192 \sqrt[3]{12}}{3^{4}}}$

Étape 9.1.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- \frac{96}{\frac{192 \sqrt[3]{12}}{81}}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun à $192$ et $81$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $192 \sqrt[3]{12}$ .

$- \frac{96}{\frac{3 (64 \sqrt[3]{12})}{81}}$

Étape 9.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$- \frac{96}{\frac{3 (64 \sqrt[3]{12})}{3 (27)}}$

Étape 9.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{96}{\frac{3 (64 \sqrt[3]{12})}{3 \cdot 27}}$

Étape 9.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{96}{\frac{64 \sqrt[3]{12}}{27}}$

Étape 9.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (96 \frac{27}{64 \sqrt[3]{12}})$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $32$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Factorisez $32$ à partir de $96$ .

$- (32 (3) \frac{27}{64 \sqrt[3]{12}})$

Étape 9.3.2

Factorisez $32$ à partir de $64 \sqrt[3]{12}$ .

$- (32 (3) \frac{27}{32 (2 \sqrt[3]{12})})$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun.

$- (32 \cdot 3 \frac{27}{32 (2 \sqrt[3]{12})})$

Étape 9.3.4

Réécrivez l’expression.

$- (3 \frac{27}{2 \sqrt[3]{12}})$

Étape 9.4

Associez $3$ et $\frac{27}{2 \sqrt[3]{12}}$ .

$- \frac{3 \cdot 27}{2 \sqrt[3]{12}}$

Étape 9.5

Multipliez $3$ par $27$ .

$- \frac{81}{2 \sqrt[3]{12}}$

Étape 9.6

Multipliez $\frac{81}{2 \sqrt[3]{12}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$- (\frac{81}{2 \sqrt[3]{12}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}})$

Étape 9.7

Simplifiez les termes.

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Étape 9.7.1

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.7.1.1

Multipliez $\frac{81}{2 \sqrt[3]{12}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2}}$

Étape 9.7.1.2

Déplacez $\sqrt[3]{12}$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 (\sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2})}$

Étape 9.7.1.3

Élevez $\sqrt[3]{12}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 ({\sqrt[3]{12}}^{1} {\sqrt[3]{12}}^{2})}$

Étape 9.7.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{12}}^{1 + 2}}$

Étape 9.7.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{12}}^{3}}$

Étape 9.7.1.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{12}}^{3}$ comme $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.7.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{12}$ comme $12^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 {(12^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 9.7.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \cdot 12^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 9.7.1.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \cdot 12^{\frac{3}{3}}}$

Étape 9.7.1.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.7.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \cdot 12^{\frac{3}{3}}}$

Étape 9.7.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \cdot 12^{1}}$

Étape 9.7.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{81 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \cdot 12}$

Étape 9.7.2

Annulez le facteur commun à $81$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $81 {\sqrt[3]{12}}^{2}$ .

$- \frac{3 (27 {\sqrt[3]{12}}^{2})}{2 \cdot 12}$

Étape 9.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $2 \cdot 12$ .

$- \frac{3 (27 {\sqrt[3]{12}}^{2})}{3 (2 \cdot 4)}$

Étape 9.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 (27 {\sqrt[3]{12}}^{2})}{3 (2 \cdot 4)}$

Étape 9.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{27 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 9.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.8.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{12}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{12^{2}}$ .

$- \frac{27 \sqrt[3]{12^{2}}}{2 \cdot 4}$

Étape 9.8.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$- \frac{27 \sqrt[3]{144}}{2 \cdot 4}$

Étape 9.8.3

Réécrivez $144$ comme $2^{3} \cdot 18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.8.3.1

Factorisez $8$ à partir de $144$ .

$- \frac{27 \sqrt[3]{8 (18)}}{2 \cdot 4}$

Étape 9.8.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- \frac{27 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

Étape 9.8.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{27 \cdot 2 \sqrt[3]{18}}{2 \cdot 4}$

Étape 9.8.5

Multipliez $27$ par $2$ .

$- \frac{54 \sqrt[3]{18}}{2 \cdot 4}$

Étape 9.9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.9.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{54 \sqrt[3]{18}}{8}$

Étape 9.9.2

Annulez le facteur commun à $54$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $54 \sqrt[3]{18}$ .

$- \frac{2 (27 \sqrt[3]{18})}{8}$

Étape 9.9.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$- \frac{2 (27 \sqrt[3]{18})}{2 (4)}$

Étape 9.9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (27 \sqrt[3]{18})}{2 \cdot 4}$

Étape 9.9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{27 \sqrt[3]{18}}{4}$

Étape 10

$x = \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 9 \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3} - \frac{16}{{(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3})}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 + 3 (- 3) (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) - \frac{16}{{(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3})}^{2}}$

Étape 11.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 + 3 \cdot (- 3 \frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) - \frac{16}{{(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3})}^{2}}$

Étape 11.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 3 (2 \sqrt[3]{12}) - \frac{16}{{(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{{(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3})}^{2}}$

Étape 11.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{{(2 \sqrt[3]{12})}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 11.2.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[3]{12}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{2^{2} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 11.2.1.3.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{4 {\sqrt[3]{12}}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 11.2.1.3.2.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{12}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{12^{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{4 \sqrt[3]{12^{2}}}{3^{2}}}$

Étape 11.2.1.3.2.4

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{4 \sqrt[3]{144}}{3^{2}}}$

Étape 11.2.1.3.2.5

Réécrivez $144$ comme $2^{3} \cdot 18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.2.5.1

Factorisez $8$ à partir de $144$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{4 \sqrt[3]{8 (18)}}{3^{2}}}$

Étape 11.2.1.3.2.5.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{4 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 18}}{3^{2}}}$

Étape 11.2.1.3.2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{4 \cdot (2 \sqrt[3]{18})}{3^{2}}}$

Étape 11.2.1.3.2.7

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{8 \sqrt[3]{18}}{3^{2}}}$

Étape 11.2.1.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{16}{\frac{8 \sqrt[3]{18}}{9}}$

Étape 11.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (16 (\frac{9}{8 \sqrt[3]{18}}))$

Étape 11.2.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (8 (2) (\frac{9}{8 \sqrt[3]{18}}))$

Étape 11.2.1.5.2

Factorisez $8$ à partir de $8 \sqrt[3]{18}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (8 (2) (\frac{9}{8 (\sqrt[3]{18})}))$

Étape 11.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (8 \cdot (2 (\frac{9}{8 \sqrt[3]{18}})))$

Étape 11.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (2 (\frac{9}{\sqrt[3]{18}}))$

Étape 11.2.1.6

Associez $2$ et $\frac{9}{\sqrt[3]{18}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{2 \cdot 9}{\sqrt[3]{18}}$

Étape 11.2.1.7

Multipliez $2$ par $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18}{\sqrt[3]{18}}$

Étape 11.2.1.8

Multipliez $\frac{18}{\sqrt[3]{18}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{18}}^{2}}{{\sqrt[3]{18}}^{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (\frac{18}{\sqrt[3]{18}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{18}}^{2}}{{\sqrt[3]{18}}^{2}})$

Étape 11.2.1.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1.9.1

Multipliez $\frac{18}{\sqrt[3]{18}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{18}}^{2}}{{\sqrt[3]{18}}^{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{18}}^{2}}$

Étape 11.2.1.9.2

Élevez $\sqrt[3]{18}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{\sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{18}}^{2}}$

Étape 11.2.1.9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{{\sqrt[3]{18}}^{1 + 2}}$

Étape 11.2.1.9.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{{\sqrt[3]{18}}^{3}}$

Étape 11.2.1.9.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{18}}^{3}$ comme $18$ .

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Étape 11.2.1.9.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{18}$ comme $18^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{{(18^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 11.2.1.9.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{18^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 11.2.1.9.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{18^{\frac{3}{3}}}$

Étape 11.2.1.9.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.9.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{18^{\frac{3}{3}}}$

Étape 11.2.1.9.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{18}$

Étape 11.2.1.9.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{18}$

Étape 11.2.1.10

Annulez le facteur commun de $18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.10.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \frac{18 {\sqrt[3]{18}}^{2}}{18}$

Étape 11.2.1.10.2

Divisez ${\sqrt[3]{18}}^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - {\sqrt[3]{18}}^{2}$

Étape 11.2.1.11

Réécrivez ${\sqrt[3]{18}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{18^{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{18^{2}}$

Étape 11.2.1.12

Élevez $18$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{324}$

Étape 11.2.1.13

Réécrivez $324$ comme $3^{3} \cdot 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.13.1

Factorisez $27$ à partir de $324$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{27 (12)}$

Étape 11.2.1.13.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - \sqrt[3]{3^{3} \cdot 12}$

Étape 11.2.1.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - (3 \sqrt[3]{12})$

Étape 11.2.1.15

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 6 \sqrt[3]{12} - 3 \sqrt[3]{12}$

Étape 11.2.2

Soustrayez $3 \sqrt[3]{12}$ de $- 6 \sqrt[3]{12}$ .

$f (\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}) = 9 - 9 \sqrt[3]{12}$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $9 - 9 \sqrt[3]{12}$ .

$y = 9 - 9 \sqrt[3]{12}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 9 - 9 x - \frac{16}{x^{2}}$ .

$(\frac{2 \sqrt[3]{12}}{3}, 9 - 9 \sqrt[3]{12})$ est un maximum local

Étape 13