Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - \frac{1}{x}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 2.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0$

Étape 2.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$1 + x^{- 2}$

Étape 3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x^{2}} + 1$