Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(x - 15)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(x - 15)}^{2}$ comme $(x - 15) (x - 15)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((x - 15) (x - 15))]$

Étape 2

Développez $(x - 15) (x - 15)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 15) - 15 (x - 15))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 15 - 15 (x - 15))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 15 - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 15 - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

Étape 3.1.2

Déplacez $- 15$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 15 \cdot x - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 15$ par $- 15$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 15 x - 15 x + 225)]$

Étape 3.2

Soustrayez $15 x$ de $- 15 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 30 x + 225)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 30 x + 225$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 30 x + 225] + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 30 x + 225$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.3

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30 x$ par rapport à $x$ est $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 x - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.5

Multipliez $- 30$ par $1$ .

$x (2 x - 30 + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.6

Comme $225$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $225$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (2 x - 30 + 0) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.7

Additionnez $2 x - 30$ et $0$ .

$x (2 x - 30) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 x - 30) + (x^{2} - 30 x + 225) \cdot 1$

Étape 5.9

Multipliez $x^{2} - 30 x + 225$ par $1$ .

$x (2 x - 30) + x^{2} - 30 x + 225$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Étape 6.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Étape 6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Étape 6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Étape 6.2.5

Déplacez $- 30$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} - 30 \cdot x + x^{2} - 30 x + 225$

Étape 6.2.6

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 30 x - 30 x + 225$

Étape 6.2.7

Soustrayez $30 x$ de $- 30 x$ .

$3 x^{2} - 60 x + 225$