Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (\frac{z - 7}{z + 7})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ est $f' (g (z)) g' (z)$ où $f (z) = \sin (z)$ et $g (z) = \frac{z - 7}{z + 7}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{z - 7}{z + 7}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{z - 7}{z + 7}$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ est $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ où $f (z) = z - 7$ et $g (z) = z + 7$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \frac{d}{d z} [z - 7] - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z - 7$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $z$ est $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + 0) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \cdot 1 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $z + 7$ par $1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z + 7$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7]$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $7$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $7$ par rapport à $z$ est $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + 0)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 3.8

Associez les fractions.

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Étape 3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \cdot 1}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 3.8.3

Associez $\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ et $\frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - (z - 7))}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - z - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Associez les termes opposés dans $z + 7 - z - - 7$ .

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $z$ de $z$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (0 + 7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $0$ et $7$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 + 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 4.2.3

Additionnez $7$ et $7$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \cdot 14}{{(z + 7)}^{2}}$

Étape 4.2.4

Déplacez $14$ à gauche de $\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ .

$\frac{14 \cos (\frac{z - 7}{z + 7})}{{(z + 7)}^{2}}$