Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\tan (5 x + 1))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \tan (5 x + 1)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (5 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (5 x + 1)$ .

$\frac{1}{\tan (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Étape 2

Réécrivez $\tan (5 x + 1)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}$ .

$\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Étape 4

Convertissez de $\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)}$ à $\cot (5 x + 1)$ .

$\cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 5 x + 1$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x + 1$ .

$\cot (5 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Étape 5.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x + 1$ .

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 6.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 6.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 6.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + 0)$

Étape 6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.6.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) \cdot 5$

Étape 6.6.2

Déplacez $5$ à gauche de $\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ .

$5 \cdot (\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1))$

Étape 6.6.3

Réorganisez les facteurs de $5 \cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ .

$5 \sec^{2} (5 x + 1) \cot (5 x + 1)$