Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x + y) - x y$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x + y) - x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cos (x + y) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.6

Multipliez $\cos (x + y)$ par $1$ .

$\cos (x + y) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x + y) - y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x + y) - y \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\cos (x + y) - y$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y + \cos (x + y)$