Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \tan (x) \cdot (\sin (x) + \cos (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\tan (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 5

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x)$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\cos (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.1.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.1.2

Réécrivez $\cos (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.1.3

Annulez les facteurs communs.

$\sin (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.3

Multipliez $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 6.4.3.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.4

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.7

Associez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6.4.8

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Étape 6.4.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Étape 6.4.10

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.4.10.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Étape 6.4.10.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Étape 6.4.10.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

Étape 6.4.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x) + 1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6.6

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et $1$ .

$\sin (x) + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6.8

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 6.8.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.8.2.1

Multipliez par $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6.8.2.4

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.9.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 6.9.2

Séparez les fractions.

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.9.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 6.9.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \sec (x) \tan (x)$