Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \arctan (2 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{4 x^{2} + 1}$