Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (\tan (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$- \sin (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réorganisez les facteurs de $- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$

Étape 3.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (\tan (x))$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Étape 3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Étape 3.5

Associez $\sin (\tan (x))$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (\tan (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.6

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 3.7

Séparez les fractions.

$- (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)})$

Étape 3.8

Réécrivez $\frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)}$ comme un produit.

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Étape 3.9

Écrivez $\sin (\tan (x))$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}))$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Divisez $\sin (\tan (x))$ par $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Étape 3.10.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Étape 3.11

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- (\sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Étape 3.12

Multipliez $\sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x))$ .

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Étape 3.12.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\sec^{1} (x) \sec (x) \sin (\tan (x)))$

Étape 3.12.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sin (\tan (x)))$

Étape 3.12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- ({\sec (x)}^{1 + 1} \sin (\tan (x)))$

Étape 3.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (\sec^{2} (x) \sin (\tan (x)))$

$- \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$