Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \arctan (\frac{x + a}{b})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{x + a}{b}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{b}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x + a}{b}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} (\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a])$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{b}$ par $\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}}$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \frac{d}{d x} [x + a]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + a$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + \frac{d}{d x} [a])$

Étape 2.5

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \cdot 1$

Étape 2.6.2

Multipliez $\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$ par $1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{b (1 + \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{b \cdot 1 + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $b$ par $1$ .

$\frac{1}{b + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Étape 3.3.2

Associez $b$ et $\frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun à $b$ et $b^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $b$ à partir de $b {(x + a)}^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b^{2}}}$

Étape 3.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.2.1

Factorisez $b$ à partir de $b^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b \cdot b}}$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b \cdot b}}$

Étape 3.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{b + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Étape 3.3.4

Pour écrire $b$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{\frac{b \cdot b}{b} + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Étape 3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{b \cdot b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Étape 3.3.6

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Étape 3.3.7

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b^{1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Étape 3.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{b^{1 + 1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Étape 3.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Étape 3.3.10

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}$ .

$1 \frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

Étape 3.3.11

Multipliez $\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$