Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\sqrt{\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}}$ comme ${(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + \tan (x)$ et $g (x) = 1 - \tan (x)$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 10

Différenciez.

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Étape 10.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 10.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 10.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 11

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 12

Différenciez.

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Étape 12.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 12.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 12.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Étape 12.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 12.5

Multipliez.

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Étape 12.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + 1 (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 12.5.2

Multipliez $1 + \tan (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$

Étape 13

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Multipliez $\frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 14.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 - \tan (x))}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{2 \cdot {(1 - \tan (x))}^{2}} {(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$\frac{1}{{(\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} {(\frac{1 - \tan (x)}{1 + \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 15.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + \tan (x)}{1 - \tan (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}} \cdot \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} {(\frac{1 - \tan (x)}{1 + \tan (x)})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 15.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \tan (x)}{1 + \tan (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}} \cdot \frac{(1 - \tan (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\frac{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}} \cdot \frac{1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\frac{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}} \cdot \frac{1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6

Associez des termes.

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Étape 15.6.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.2

Multipliez $\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 \sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.3

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $1$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + 1 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.4

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $1$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sec^{2} (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.5

Additionnez $\sec^{2} (x)$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- \tan (x) \sec^{2} (x) + 2 \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.6

Additionnez $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ et $\tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{0 + 2 \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.7

Additionnez $0$ et $2 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.6.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \sec^{2} (x)}{2 {(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}} \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.9

Multipliez $\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 - \tan (x))}^{2}}$ .

$\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{2}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.10

Placez ${(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{2} {(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.11

Multipliez ${(1 - \tan (x))}^{2}$ par ${(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.6.11.1

Déplacez ${(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} ({(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{2})} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.11.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2} + 2}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.11.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.11.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.11.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.11.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.6.11.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{- 1 + 4}{2}}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.11.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.12

Multipliez $\frac{\sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{{(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.13

Multipliez ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.6.13.1

Déplacez ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 15.6.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 15.6.13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{1 + 1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 15.6.13.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 15.6.13.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \tan (x))}^{1} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 15.6.14

Simplifiez ${(1 + \tan (x))}^{1} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) {(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}}{(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 15.6.15

Placez ${(1 - \tan (x))}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}} {(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 15.6.16

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.6.16.1

Multipliez ${(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}}$ par ${(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.6.16.1.1

Déplacez ${(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) ({(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2}} {(1 - \tan (x))}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 15.6.16.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Étape 15.6.16.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Étape 15.6.16.1.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.6.16.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{1}}$

Étape 15.6.16.2

Simplifiez $(1 + \tan (x)) {(1 - \tan (x))}^{1}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{(1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}$