Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (7 x^{2} - 3 x + 4)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 7 x^{2} - 3 x + 4$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x^{2} - 3 x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3 x + 4]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3 x + 4]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x^{2} - 3 x + 4$ .

$\frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3 x + 4]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} - 3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4} (14 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4} (14 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4} (14 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4} (14 x - 3 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4} (14 x - 3 + 0)$

Étape 2.9

Additionnez $14 x - 3$ et $0$ .

$\frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4} (14 x - 3)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4} (14 x - 3)$ .

$(14 x - 3) \frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4}$

Étape 3.2

Multipliez $14 x - 3$ par $\frac{1}{7 x^{2} - 3 x + 4}$ .

$\frac{14 x - 3}{7 x^{2} - 3 x + 4}$