Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = \frac{t^{2}}{t - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t - 1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(t - 1) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $t - 1$ .

$\frac{2 \cdot (t - 1) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 1) t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 1 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 1 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 1 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 t^{2} - 2 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 2 t}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez $t$ à partir de $t^{2} - 2 t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 2 t}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Factorisez $t$ à partir de $- 2 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 2}{{(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t + t \cdot - 2$ .

$\frac{t (t - 2)}{{(t - 1)}^{2}}$