Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = e^{x} \ln (x^{3})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln (x^{3})$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$e^{x} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{x^{3}}$ et $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{e^{x}}{x^{3}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Associez $3$ et $\frac{e^{x}}{x^{3}}$ .

$\frac{3 e^{x}}{x^{3}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2}}{x^{3}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x})}{x^{3}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x})}{x^{2} x} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (3 e^{x})}{x^{2} x} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 e^{x}}{x} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{3 e^{x}}{x} + \ln (x^{3}) e^{x}$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} \ln (x^{3}) + \frac{3 e^{x}}{x}$