Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x^{2} - 1$ et $g (x) = 2 x + 5$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (6 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (6 x + 0) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (6 x) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Déplacez $6$ à gauche de $2 x + 5$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 \cdot (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.11

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 + 0)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.12

Associez les fractions.

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Étape 3.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) \cdot 2}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.12.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 3.12.3

Associez $\frac{6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}}$ et $3$ .

$\frac{(6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)) \cdot 3}{{(2 x + 5)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2}$

Étape 3.12.4

Déplacez $3$ à gauche de $6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)$ .

$\frac{3 \cdot (6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ .

$\frac{3 (6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 ((6 (2 x) + 6 \cdot 5) x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (6 (2 x) x + 6 \cdot 5 x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (6 (2 x) x + 6 \cdot 5 x - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (6 (2 x) x) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6

Associez des termes.

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Étape 4.6.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{3 (12 x \cdot x) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (12 (x^{1} x)) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (12 (x^{1} x^{1})) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (12 x^{1 + 1}) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (12 x^{2}) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.6

Multipliez $12$ par $3$ .

$\frac{36 x^{2} + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.7

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{36 x^{2} + 3 (30 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.8

Multipliez $30$ par $3$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.9

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.10

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x - 18 x^{2} + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x - 18 x^{2} + 3 \cdot 2}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.12

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x - 18 x^{2} + 6}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.13

Soustrayez $18 x^{2}$ de $36 x^{2}$ .

$\frac{18 x^{2} + 90 x + 6}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.14

Multipliez $\frac{18 x^{2} + 90 x + 6}{{(2 x + 5)}^{2}}$ par $\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{(18 x^{2} + 90 x + 6) {(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2} {(2 x + 5)}^{2}}$

Étape 4.6.15

Multipliez ${(2 x + 5)}^{2}$ par ${(2 x + 5)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.15.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(18 x^{2} + 90 x + 6) {(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2 + 2}}$

Étape 4.6.15.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{(18 x^{2} + 90 x + 6) {(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Étape 4.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (18 x^{2} + 90 x + 6)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Étape 4.8

Factorisez $6$ à partir de $18 x^{2} + 90 x + 6$ .

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Étape 4.8.1

Factorisez $6$ à partir de $18 x^{2}$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2}) + 90 x + 6)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Étape 4.8.2

Factorisez $6$ à partir de $90 x$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2}) + 6 (15 x) + 6)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Étape 4.8.3

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2}) + 6 (15 x) + 6 (1))}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Étape 4.8.4

Factorisez $6$ à partir de $6 (3 x^{2}) + 6 (15 x)$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2} + 15 x) + 6 (1))}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Étape 4.8.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (3 x^{2} + 15 x) + 6 (1)$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2} + 15 x + 1))}{{(2 x + 5)}^{4}}$

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} \cdot 6 (3 x^{2} + 15 x + 1)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Étape 4.9

Déplacez $6$ à gauche de ${(3 x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{6 {(3 x^{2} - 1)}^{2} (3 x^{2} + 15 x + 1)}{{(2 x + 5)}^{4}}$