Calcul infinitésimal Exemples

$G (x) = 9 x^{5} (x^{4} - 9)$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{5} (x^{4} - 9)$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{5} (x^{4} - 9)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{5} (x^{4} - 9)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{4} - 9$ .

$9 (x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} - 9] + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$9 (x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$9 (x^{5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.3

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 (x^{5} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.4

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$9 (x^{5} (4 x^{3}) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4

Multipliez $x^{5}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$9 (x^{3} x^{5} \cdot 4 + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 (x^{3 + 5} \cdot 4 + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.3

Additionnez $3$ et $5$ .

$9 (x^{8} \cdot 4 + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 5

Déplacez $4$ à gauche de $x^{8}$ .

$9 (4 \cdot x^{8} + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$9 (4 x^{8} + (x^{4} - 9) (5 x^{4}))$

Étape 7

Déplacez $5$ à gauche de $x^{4} - 9$ .

$9 (4 x^{8} + 5 \cdot (x^{4} - 9) x^{4})$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 (4 x^{8} + (5 x^{4} + 5 \cdot - 9) x^{4})$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 (4 x^{8} + 5 x^{4} x^{4} + 5 \cdot - 9 x^{4})$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 (4 x^{8}) + 9 (5 x^{4} x^{4}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

Étape 8.4

Associez des termes.

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Étape 8.4.1

Multipliez $4$ par $9$ .

$36 x^{8} + 9 (5 x^{4} x^{4}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

Étape 8.4.2

Multipliez $x^{4}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$36 x^{8} + 9 (5 (x^{4} x^{4})) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

Étape 8.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$36 x^{8} + 9 (5 x^{4 + 4}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

Étape 8.4.2.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$36 x^{8} + 9 (5 x^{8}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

Étape 8.4.3

Multipliez $5$ par $9$ .

$36 x^{8} + 45 x^{8} + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

Étape 8.4.4

Multipliez $5$ par $- 9$ .

$36 x^{8} + 45 x^{8} + 9 (- 45 x^{4})$

Étape 8.4.5

Multipliez $- 45$ par $9$ .

$36 x^{8} + 45 x^{8} - 405 x^{4}$

Étape 8.4.6

Additionnez $36 x^{8}$ et $45 x^{8}$ .

$81 x^{8} - 405 x^{4}$