Calcul infinitésimal Exemples

$r (a) = {(3 a + 1)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(3 a + 1)}^{2}$ comme $(3 a + 1) (3 a + 1)$ .

$\frac{d}{d a} [(3 a + 1) (3 a + 1)]$

Étape 2

Développez $(3 a + 1) (3 a + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d a} [3 a (3 a + 1) + 1 (3 a + 1)]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d a} [3 a (3 a) + 3 a \cdot 1 + 1 (3 a + 1)]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d a} [3 a (3 a) + 3 a \cdot 1 + 1 (3 a) + 1 \cdot 1]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d a} [3 \cdot 3 a \cdot a + 3 a \cdot 1 + 1 (3 a) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $a$ .

$\frac{d}{d a} [3 \cdot 3 (a \cdot a) + 3 a \cdot 1 + 1 (3 a) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{d}{d a} [3 \cdot 3 a^{2} + 3 a \cdot 1 + 1 (3 a) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d a} [9 a^{2} + 3 a \cdot 1 + 1 (3 a) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{d}{d a} [9 a^{2} + 3 a + 1 (3 a) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.1.5

Multipliez $3 a$ par $1$ .

$\frac{d}{d a} [9 a^{2} + 3 a + 3 a + 1 \cdot 1]$

Étape 3.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d a} [9 a^{2} + 3 a + 3 a + 1]$

Étape 3.2

Additionnez $3 a$ et $3 a$ .

$\frac{d}{d a} [9 a^{2} + 6 a + 1]$

Étape 4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 a^{2} + 6 a + 1$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [9 a^{2}] + \frac{d}{d a} [6 a] + \frac{d}{d a} [1]$ .

$\frac{d}{d a} [9 a^{2}] + \frac{d}{d a} [6 a] + \frac{d}{d a} [1]$

Étape 5

Comme $9$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $9 a^{2}$ par rapport à $a$ est $9 \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [6 a] + \frac{d}{d a} [1]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (2 a) + \frac{d}{d a} [6 a] + \frac{d}{d a} [1]$

Étape 7

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 a + \frac{d}{d a} [6 a] + \frac{d}{d a} [1]$

Étape 8

Comme $6$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $6 a$ par rapport à $a$ est $6 \frac{d}{d a} [a]$ .

$18 a + 6 \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [1]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 a + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d a} [1]$

Étape 10

Multipliez $6$ par $1$ .

$18 a + 6 + \frac{d}{d a} [1]$

Étape 11

Comme $1$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $1$ par rapport à $a$ est $0$ .

$18 a + 6 + 0$

Étape 12

Additionnez $18 a + 6$ et $0$ .

$18 a + 6$