Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \sin^{5} (\sqrt{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$4 (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$4 (5 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Étape 3

Multipliez $5$ par $4$ .

$20 (\sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $20$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20}{2} \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 13

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20}{2}$ et $\sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cos (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 14

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ et $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 15

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.1

Déplacez $20$ à gauche de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{20 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 15.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16

Factorisez $2$ à partir de $20 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 \sin^{4} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$