Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 2.7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 2.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 2.10

Associez $4$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 2.11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{4 x^{6}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{6}}$ comme ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{6}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{6}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{6}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Étape 3.5.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Étape 3.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Étape 3.7

Multipliez $x^{- 12}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.1

Déplacez $x^{5}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Étape 3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{5 - 12})$

Étape 3.7.3

Soustrayez $12$ de $5$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 7})$

Étape 3.8

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 6 (\frac{3}{4}) x^{- 7}$

Étape 3.9

Associez $6$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{6 \cdot 3}{4} x^{- 7}$

Étape 3.10

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4} x^{- 7}$

Étape 3.11

Associez $\frac{18}{4}$ et $x^{- 7}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18 x^{- 7}}{4}$

Étape 3.12

Placez $x^{- 7}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4 x^{7}}$

Étape 3.13

Annulez le facteur commun à $18$ et $4$ .

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Étape 3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{4 x^{7}}$

Étape 3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{7}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{2 (2 x^{7})}$

Étape 3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot 9}{2 (2 x^{7})}$

Étape 3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{9}{2 x^{7}}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{9}{2 x^{7}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$