Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 55.36 e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)$

Étape 1

Comme $55.36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $55.36 e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)$ par rapport à $x$ est $55.36 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)]$ .

$55.36 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{- 0.5 x}$ et $g (x) = - 26.9 x + 127.1$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 26.9 x + 127.1] + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 26.9 x + 127.1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 26.9 x] + \frac{d}{d x} [127.1]$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} (\frac{d}{d x} [- 26.9 x] + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Étape 3.2

Comme $- 26.9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 26.9 x$ par rapport à $x$ est $- 26.9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Étape 3.4

Multipliez $- 26.9$ par $1$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Étape 3.5

Comme $127.1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $127.1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 + 0) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $- 26.9$ et $0$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} \cdot - 26.9 + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Étape 3.6.2

Déplacez $- 26.9$ à gauche de $e^{- 0.5 x}$ .

$55.36 (- 26.9 \cdot e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 0.5 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 0.5 x$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.5 x]))$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 0.5 x$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x]))$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.5 x$ par rapport à $x$ est $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 0.5$ par $1$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

Étape 5.3.2

Déplacez $- 0.5$ à gauche de $(- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x}$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} - 0.5 \cdot ((- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x}))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 0.5 (- 26.9 x) - 0.5 \cdot 127.1) e^{- 0.5 x})$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} - 0.5 (- 26.9 x) e^{- 0.5 x} - 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 (- 26.9 x) e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

Étape 6.4

Associez des termes.

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Étape 6.4.1

Multipliez $- 26.9$ par $55.36$ .

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 55.36 (- 0.5 (- 26.9 x) e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

Étape 6.4.2

Multipliez $- 26.9$ par $- 0.5$ .

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 55.36 (13.45 x e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

Étape 6.4.3

Multipliez $13.45$ par $55.36$ .

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 744.592 (x e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

Étape 6.4.4

Multipliez $- 0.5$ par $127.1$ .

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 744.592 x e^{- 0.5 x} + 55.36 (- 63.55 e^{- 0.5 x})$

Étape 6.4.5

Multipliez $- 63.55$ par $55.36$ .

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 744.592 x e^{- 0.5 x} - 3518.128 e^{- 0.5 x}$

Étape 6.4.6

Soustrayez $3518.128 e^{- 0.5 x}$ de $- 1489.184 e^{- 0.5 x}$ .

$744.592 x e^{- 0.5 x} - 5007.312 e^{- 0.5 x}$

Étape 6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$744.592 e^{- 0.5 x} x - 5007.312 e^{- 0.5 x}$

Étape 6.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $744.592 e^{- 0.5 x} x - 5007.312 e^{- 0.5 x}$ .

$744.592 x e^{- 0.5 x} - 5007.312 e^{- 0.5 x}$