Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 + 75 x - 2 x^{2} + 8 y - 0.5 x y + 4 z^{2}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + 75 x - 2 x^{2} + 8 y - 0.5 x y + 4 z^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Étape 1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [75 x]$ .

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Étape 2.1

Comme $75$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $75 x$ par rapport à $x$ est $75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Étape 2.3

Multipliez $75$ par $1$ .

$0 + 75 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 75 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 75 - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 + 75 - 4 x + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Étape 4

Comme $8 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + 75 - 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 0.5 x y]$ .

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Étape 5.1

Comme $- 0.5 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.5 x y$ par rapport à $x$ est $- 0.5 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Étape 5.3

Multipliez $- 0.5$ par $1$ .

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Étape 6

Comme $4 z^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 z^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y + 0$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez des termes.

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Étape 7.1.1

Additionnez $0$ et $75$ .

$75 - 4 x + 0 - 0.5 y + 0$

Étape 7.1.2

Additionnez $75 - 4 x$ et $0$ .

$75 - 4 x - 0.5 y + 0$

Étape 7.1.3

Additionnez $75 - 4 x - 0.5 y$ et $0$ .

$75 - 4 x - 0.5 y$

Étape 7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 x - 0.5 y + 75$