Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x e^{- 9 x^{2}}$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x e^{- 9 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x e^{- 9 x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{- 9 x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- 9 x^{2}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 9 x^{2}}] + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 9 x^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 9 x^{2}$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 9 x^{2}$ .

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 9 (2 x))) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (x^{1} x (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (x^{1} x^{1} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (x^{1 + 1} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (x^{2} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.2

Déplacez $- 18$ à gauche de $e^{- 9 x^{2}}$ .

$3 (x^{2} (- 18 \cdot e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}} \cdot 1)$

Étape 10

Multipliez $e^{- 9 x^{2}}$ par $1$ .

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}})) + 3 e^{- 9 x^{2}}$

Étape 11.2

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$- 54 x^{2} e^{- 9 x^{2}} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

Étape 11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 54 e^{- 9 x^{2}} x^{2} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

Étape 11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 54 e^{- 9 x^{2}} x^{2} + 3 e^{- 9 x^{2}}$ .

$- 54 x^{2} e^{- 9 x^{2}} + 3 e^{- 9 x^{2}}$