Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \ln (\sin (x))$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (\sin (x))$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$2 (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \csc (x) \cos (x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $2 \csc (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \csc (x)$

Étape 5.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 5.3

Multipliez $2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Étape 5.3.1

Associez $\frac{1}{\sin (x)}$ et $2$ .

$\frac{2}{\sin (x)} \cos (x)$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{2}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.4

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 5.5

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Étape 5.6

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \cot (x)$