Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 2 \ln (4 x)$

Étape 1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \ln (4 x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$- 2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$- 2 (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{4 x}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 x)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{- 4}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x)} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{2}{x} \cdot 1$

Étape 3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{2}{x}$