Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{5} \ln (x)$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{5} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $x^{5}$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$2 (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$2 (x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$2 (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{4} + 2 (\ln (x) (5 x^{4}))$

Étape 5.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$2 x^{4} + 10 \ln (x) x^{4}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{4} + 10 x^{4} \ln (x)$